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2025年重庆市高考数学调研试卷（七）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是的充分不必要条件，是的充要条件，是的必要不充分条件，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知一组数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为( )
A. B. C. D.
3.若，的最小值为，则( )
A. B. C. 或 D.
4.已知抛物线：和圆：在第一象限内的交点为，则以为切点的的切线方程为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的图象关于对称，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.若高为的正三棱柱的顶点都在半径为的球面上，则该正三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
7.设，表示的正因数的个数，如，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，都是平面向量，，若，，，则取得最大值时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若是定义域为的单调递增函数，下列说法正确的是( )
A. 若，则，
B. ，，且，有
C. ，，且，有
D. ，
10.关于非零复数，，，及其共轭复数，，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线，，为的左、右焦点，点，，过作实轴的垂线与从下到上依次交于，两点，线段与的虚轴长相等则( )
A. 双曲线的离心率
B. 以为直径的圆与的渐近线相切
C. 若点是上任意一点，则直线，的斜率之积的范围是
D. 若点是上任意一点，分别与，交于点，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ______．
13.已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点出发沿该圆锥的表面到点的最短路径长为______．
14.设定义域为的函数满足：，都有且为常数，则函数 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，，，且为钝角．
求；
若是边的中点，求的长．
16.本小题分
已知函数，．
若，求在上的最大值和最小值；
若无极值点，证明：．
17.本小题分
如图，在中，，为边的中点，点，分别在，上，将绕直线旋转到的位置，点对应点，交于点，点在线段上，连接，，已知，，．
证明：平面；
若，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
18.本小题分
某人有两只盒子，盒子装有个白球和个黑球，盒子装有个白球和个黑球他通过掷一个均匀的六面骰子来选择盒子：若骰子点数大于，则选择盒子；否则选择盒子然后他从选中的盒子中随机取出两个球．
若一次性取出，设随机变量表示取出的白球数量求的分布列及数学期望；
若在原取球规则基础上，从选择的盒子中第一次取球，将取出的球颜色记录下来并放回原盒子，然后掷一枚均匀硬币，若正面朝上，则对该盒子中的球进行如下操作：将白球和黑球数量互换；若反面朝上，则球的情况不变；之后再对这个盒子进行第二次取球，设两次取球取出白球总数为，求的数学期望．
19.本小题分
已知椭圆的左，右焦点为，，为上一动点，内切圆面积的最大值为，且到直线的距离为，过的直线交于，两点．
求椭圆的方程；
若，探究：是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由；
若，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．
答案和解析
1.【答案】
【解析】若是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，
则，
则是的既不充分也不必要条件．
故选：．
2.【答案】
【解析】因为一组数据，，，的方差为，
则数据，，，的方差为．
故选：．
3.【答案】
【解析】令，那么，
令函数，那么导函数，
当时，，那么函数在上单调递减，显然无最小值，不符；
当时，令，那么，
若，时，，那么函数在上单调递增，
因此，不符；
若，时，
在上，，即在上单调递增，
在上，，即在上单调递减，
所以，则，
可得，又，可得．
综上，．
故选：．
4.【答案】
【解析】已知抛物线：和圆：在第一象限内的交点为，
联立抛物线：和圆：，
可得，
则或舍，
则，
在第一象限内的交点为，
由抛物线：，
则，
所以在处切线斜率为，
所以切线方程为，
即得．
故选：．
5.【答案】
【解析】由题意，函数的图象关于对称，
所以，
即，解得，
即，所以的最大值为．
故选：．
6.【答案】
【解析】因为高为的正三棱柱的顶点都在半径为的球面上，
所以球心到三棱柱底面的距离，
设球截正三棱柱的底面所得截面小圆的半径为，
则，即，解得，
棱柱底面与球的截面圆的半径，
三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为，
所以三角形的面积为，
该棱柱的体积为．
故选：．
7.【答案】
【解析】因为，，
又，，
所以
．
故选：．
8.【答案】
【解析】已知，都是平面向量，，且，，，
设，．
则，，
所以，，
则 ．
又，
则．
即，
化简可得，
所以，
即，当且仅当或时等号成立，
，此时取得最大值．
当或时，，
根据向量模长公式可得．
故选：．
9.【答案】
【解析】对于，因为是定义域为的单调递增函数且，
所以当时，，，当时，，，
所以，恒成立，故A正确；
对于，因为是定义域为的单调递增函数，
即，，且，都有，
所以，故B正确；
对于，设，则，都有，故C错误；
对于，例如在定义域为的单调递增函数，但
所以，，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】，，，，
，
，则，故A正确；
，
，则，故B正确；
，
，
当时，，故C错误；
，
，
，
，
，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】根据题目：已知双曲线，
，为的左、右焦点，点，，
过作实轴的垂线与从下到上依次交于，两点，线段与的虚轴长相等．
由题设，则：代入双曲线，有，可得，
所以，可得，故，对；
以为直径的圆的圆心为，半径为，且渐近线为，
所以到的距离，即，对；
令且，，则，，，
所以，又，，则，显然取不到，错；
令，则，，又，，
则，，，
所以，
所以，对．
故选：．
12.【答案】
【解析】已知随机变量，若，
由正态曲线的对称性可知，，故．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】由题设知，圆锥底面周长为，母线长为，
所以侧面展开图的圆心角为，
将圆锥沿过点的母线展开，得到半径为的半圆，如图所示：
因为为圆弧的中点，
从到有两种方式，一种方式从圆锥体侧面，一种方式从圆锥的底面，
若沿侧面，如上图，从点出发到点的最短路径长；
若沿底面，此时最短路径长为直径长度；
综上，从点出发沿该圆锥的表面到点的最短路径长．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】定义域为的函数满足：，都有，
由，
令可得，
在中，令，则，
由可得，，
由可得，，
由可得，，
则由可得，，即，
因，则．
故答案为：．
15.【答案】；
．
【解析】因为，，，
所以由正弦定理：，
得，
因为为钝角，所以，
所以；
由正弦定理，得，
因为是边的中点，所以，
所以，
所以，
所以的长．
16.【解析】若，则，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，，
故在上的最大值、最小值分别为，；
证明：，又无极值点，
所以不存在变号零点，而，则不存在变号零点，
当时，显然在上存在变号零点，不符；
当时，只需，即，此时，
令，则，故在上单调递减，
又，故时，时，则恒成立，
所以，得证．
17.证明：由，则、分别为，的三等分点，
即、，
由，则，故，
又平面，平面，
故E平面；
由，为边的中点，则，
如图，在平面内作，则可建立如图所示空间直角坐标系，
设为单位长度，则有，，，，
由交于点，则，，
则，则，，
则，，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，即，
可得，，，
所以，，
设与平面所成角为，
则，，
由，则，则
则，故．
即与平面所成角的正弦值的取值范围为
18.【解析】若一次性取出，
因为选A盒子的概率为，选B盒子的概率为，
易知所有可能取值为，，，
此时，，，
则的分布列为：
故；
由题意，两次各取个球，
将白球和黑球数量互换；若反面朝上，则球的情况不变；之后再对这个盒子进行第二次取球，
第一次选A盒子的概率为，取白球的个数为，
此时，，
第二次，取白球的个数为，
若反面朝上的概率为，
此时，，
若正面朝上的概率为，
此时，，
所以，，；
第一次选B盒子的概率为，取白球的个数为，
此时，，
第二次，取白球的个数为，
若反面朝上的概率为，
此时，，
若正面朝上的概率为，
此时，，
所以，，；
综上，，，，
则．
故的数学期望为．
19.【答案】； 是定值，； 证明见解析．
【解析】由题设，若内切圆面积最大，即其半径最大，此时为椭圆的上下顶点，
所以，
可得，又，
则，且，
所以，
故，
得，所以，，
即方程为；
令：，联立椭圆方程有，
整理得，
显然，
则，，
故，
则
由，则，
代入椭圆有，
可得，
所以，
此时，，
当：时，，，
则，
综上，为定值；
证明：由题设且，则，即，
显然直线的斜率存在，设：，
联立，
所以，
整理得，
所以，，
令，则，
由，，
则，且，
，
所以，即，，成等差数列．
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