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2025年湖南省高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D. ．
5.数列中，，若是数列的前项积，则的最大值( )
A. B. C. D.
6.已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数函数有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.如图，已知正方体，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，给出以下结论：
存在点，使平面；
三棱锥的体积为定值；
直线与直线所成的角为定值．
其中，正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.珠江源位于云南东部曲靖市以北公里处，整个景区由马雄山珠江源、花山湖和城区部分景点组成，总面积平方公里珠江源风景区是森林公园、省级风景名胜区、国际水利风景名胜区景区森林茂密，溪流淙淙，有“一水滴三江，一脉隔双盘”的奇异景观其美景吸引着大批的游客前往参观，某旅行社分年龄段统计了前往珠江源的老、中、青旅客的人数比为：：，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若青年旅客抽到人，则下列说法正确的是( )
A. 被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过
B.
C. 中年旅客抽到人
D. 老年旅客抽到人
10.若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，记，则( )
A. B. 是偶函数
C. D.
11.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过的焦点的直线与交于，两点，分别过，两点作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 以线段为直径的圆与抛物线的准线相切
C. 以线段为直径的圆与轴相交
D. 以线段为直径的圆过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中含项的系数为，则实数______．
13.已知双曲线：，双曲线的离心率为______．
14.菱形中，，，，点在线段上，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设三角形的三个内角，，对边分别是，，，已知，．
求三角形外接圆半径；
若三角形的面积为，求的值．
16.本小题分
某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从地区和地区随机抽取了名和名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，，分组整理得到如下频率分布直方图：
Ⅰ从地区抽取的名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于分的概率；
Ⅱ从地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于分的用户人数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设地区评分的平均值估计为，、两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系直接写出结论
17.本小题分
已知平面四边形中，，，且以为腰作等腰直角三角形，且，平面平面．
证明：平面；
已知点是线段上一点，
若平面，求点到平面的距离；
若直线与平面夹角的正弦值是，求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
Ⅱ若，求证：．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为．
求的方程和双曲线的渐近线方程；
设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切；
设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，直线与抛物线交于不同的两点，，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】集合，，
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】设，
则，
即，即，解得，
故，
所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】因为，所以，
又，，解得，
所以在上的投影向量为．
故选：．
4.【答案】
【解析】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍可得，
再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为．
故选：．
5.【答案】
【解析】因为数列中，，
所以，所以，
所以
，
因为，所以当或时，取得最大值为．
故选：．
6.【答案】
【解析】根据题意，依次分析选项：
对，根据幂函数在上单调递增得时，，故A正确；
对，当时，，错；
对，，则，根据指数函数在上单调递增得，故C错误；
对，时，例如，，，
则，根据对数函数在上单调递增，
则，因此错．
故选：．
7.【答案】
【解析】令得，
函数，
当时，的导数为，
当时，，递减，
做出的函数图象如图所示：
有两个解，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】设底面内切圆的圆心为，连接，，
由正方体的性质可知，，所以，，，四点共面，
又因为平面，所以平面，
所以当点是直线与四边形的内切圆的交点时，满足平面；故正确．
因为，而三棱锥的底面积为定值，高等于正方体的棱长，也是定值，
所以三棱锥的体积为定值；故正确．
直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，
由于点在底面的内切圆上，所以直线与直线所成的角为定值；故正确．
故选：．
9.【答案】
【解析】由题意从这些旅客中随机抽取名，青年旅客抽到人，
老、中、青旅客的人数比为：：，
则，
所以，故B正确；
则中年旅客抽到人，故C错误；
老年旅客抽到人，故D正确；
被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和为人超过人，
故A正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】对于，令，得，即，故A正确；
对于，令，可得，解得，
令，，可得，
所以的图象不是偶函数，故B错误；
对于，令，所以，
所以，
所以，
所以，
则，
所以，，，
累加得：，所以C正确；
对于，，
又，
所以，
设，
则，
所以，
所以，
即，
所以，故D正确．
故选：．
【解析】对于，因为抛物线：的焦点到准线的距离为，所以，
所以抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为，故A正确；
对于，设的中点为点，过点作准线的垂线，垂足为，
则所以B正确；
对于，设、，则由抛物线的定义可得：，，
的中点为，的中点到轴的距离为，
所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于，依题意得、，所以的中点，，
设直线为，联立，消去得，所以，
因为，
所以，即，
则以线段为直径的圆过定点，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】的展开式中含项的系数为，
实数，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】由曲线，
整理可得双曲线的标准方程，
离心率为定值．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
因为点在线段上，
可设
，
而，所以，解得，
所以，
则
，
所以．
故答案为：．
15.【答案】； ．
【解析】由，可得，
根据正弦定理得，
结合，可知舍负．
所以的外接圆半径满足，可得；
由，可得，解得．
因为，且，所以，
可得，所以舍负．
16.【解析】设事件：从地区抽取的名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于．
由频率分布直方图可知地区抽取的名用户中评分不低于的人数为，
所以．
由频率分布直方图可知地区评分为的样本用户共有人，
其中评分不低于的人数为人．
由题意可知，的所有可能取值为，，．
，
，
．
所以的分布列为：
则的数学期望；
由于地区的平均分估计值高于地区，合并后的平均值将更接近样本量较大的地区，
但地区的较高评分仍会使整体平均值略有提升，
因此，地区的平均值估计小于两地区合并后的平均值估计．
即：．
17.证明：以为腰作等腰直角三角形，且，则，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，而平面，
则，
由，，则为直角梯形，
故AD，
由，
即为等腰直角三角形，故，且，
所以为等腰直角三角形，故AB，
由都在平面内，则平面．
由平面，，构建如图示空间直角坐标系，
所以，
若，则，
所以，
令是平面的一个法向量，
则，则，
取，则，
而，
由平面，
则，
可得，
所以是靠近的三等分点，则，
因为，
设是平面的一个法向量，
则，所以，
取，则，
所以，
所以点到平面的距离是；
设，其中，
所以，
因为平面的一个法向量为，
直线与平面夹角的正弦值是，
，
所以，
所以，
解得或者舍，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，得，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，得，
所以，
设二面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
18.【解析】Ⅰ，，
令，则，则在上恒成立，仅在时取等号，
所以在上单调递增，即在上单调递增．
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当时，．
令，则，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以．
所以，又在上单调递增，
所以，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
Ⅱ证明：由得，当，时，，即，
要证不等式，只需证明，
只需证明，即只需证，
，
则，
当时，恒成立，故F在上单调递增，
又，所以恒成立，所以原不等式成立．
19.【解析】因为准线为，
准线的方程为，
又双曲线，
则，，即，
双曲线的渐近线方程为．
证明：联立方程组，
消去得：，解得舍负，由对称性，不妨取，
又由，求得直线的方程为，
联立方程组，
消去得：，
因为，
所以直线与抛物线相切．
因为，，得准线为线段的中垂线，
则直线与直线的倾斜角互补，即，
设：，：，由条件知，
联立方程组，
消去得：，
则，
联立方程组，
消去得：，
则，
所以，
故为定值．
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