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2024-2025 学年湖南省长沙市明德中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为虚数单位，若(1 )(2 + )是纯虚数，则实数 =( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 2
2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0, + ∞)上单调递增的是( )
A. ( ) = 1 B. ( ) =
3 C. ( ) = log2| | D. ( ) =
3.等比数列{ }的前 项和为 ， 1 + 4 = 3， 2 + 5 = 6，则 6 =( )
A. 27 B. 24 C. 21 D. 18
4.圆心为(2, 3)且与抛物线 2 = 4 的准线相切的圆的方程是( )
A. ( + 2)2 + ( + 3)2 = 16 B. ( + 2)2 + ( + 3)2 = 9
C. ( 2)2 + ( 3)2 = 16 D. ( 2)2 + ( 3)2 = 9
5.下列说法错误的是( )
A.若随机变量 服从正态分布 ～ (3, 2)，且 ( ≤ 4) = 0.7，则 (3 < < 4) = 0.2
B. ( ) = 1若事件 ， 相互独立， 2 , ( ) =
1
3，则 ( ∪ ) =
5
6

C.对具有线性相关关系的变量 ， ，利用最小二乘法得到的经验回归方程为 = 0.4 ，若样本点的中
心为( , 1.8)，则实数 的值是 3
D.若决定系数 2越大，则两个变量的相关性越强．
2 2
6.已知双曲线 ： 2

2 = 1( > 0, > 0)若直线 3 + 4 = 0 与 没有公共点，则 的离心率的范围为( )
A. (1, 54 ) B. (0,
5
4 ) C. (1,
5 5
4 ] D. [ 4 , + ∞)
7.在△ 中， = = 5， = 4，点 为△ 所在平面内一点且 = 0，则 的最小
值为( )
A. 0 B. 1625 C.
4 D. 165 5
8.已知函数 ( ) = 4 4 + ，则满足 (2 2) + ( + 1) > 8 的 的取值范围是( )
A. (3, + ∞) B. ( 1 , + ∞) C. ( ∞, 12 3 ) D. ( ∞,7)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为假命题的是( )
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A.若 > 1 1，则 <
B. > > 0 > 0 + 若 且 ，则 > +
C.不等式 2 + 1 < 0 对一切实数 恒成立，则 4 < < 0
D. 3“ < 5”是“ 1 ≥ 1”的一个必要不充分条件
10.已知△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，△ 的面积记为 ，若 = 2，(2 ) = ，
则( )
A. = 3
B. △ 8 3的外接圆周长为 3
C. 的最大值为 3
D.若 为线段 3的中点，且 = 2 ，则 = 3
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点，点
满足 1 = 1 1 + 1 ，( ∈ [0,1]， ∈ [0,1])则下列说法中正确的是( )
A. 1 ⊥平面 1
B.若 1 //平面 1 ，则动点 的轨迹长度为 2
C.若 + = 12，则四面体 1的体积为定值
D. 8 2若 为正方形 1 1的中心，则三棱锥 外接球的体积为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ( 2.在 9 2 ) 的展开式中，常数项为______．
13 cos( + ) = 3.已知 6 5，则 cos(2 +

3 ) = ______．
14.高斯取整函数 ( ) = [ ]的函数值表示不超过 的最大整数，例如，[ 3.5] = 4，[2.1] = 2.有如下四个
结论：
①若 ∈ (0,1) 1 1，则 ( ) + 2 = ( ( ) + 2 )；
②函数 ( ) = [ ]与函数 ( ) = 1 无公共点；
③23 23 =1 ( 7 ) + =1 ( 7 ) = 23；
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( ) = ( )( , ∈ [0, 10④所有满足 3 ])的点( , )
28
组成区域的面积为 9．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查 200 人购买情况，得到如下列表：
新能源汽车 款 新能源汽车 款 总计
男性 100 20
女性 50 30 80
总计 50 200
(1)求 ， ；
(2)根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
(3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取 4
人，设被抽取的 4 人中购买了 款车的人数为 ，求 的数学期望．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
( 2 ≥ ) 0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16.(本小题 15 分)
如图，已知四边形 为等腰梯形， 为以 为直径的半圆弧上一点，平面 ⊥平面 ， 为 的中
点， 为 的中点， = = = = 3， = 6．
(1)求证： / /平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + ( + 1)．
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(1)当 = 4 时，求 ( )的极小值；
(2)若 ( )存在唯一极值点 0，证明： ( 20) + 0 ≤ 0．
18.(本小题 17 分)
2 2 3
已知椭圆 2 + 2 = 1, ( > > 0)的短轴长为 2，且过点(1, 2 )，设点 ( 0, 0)为椭圆在第一象限内一点．
(1)求椭圆方程；
(2)设椭圆的左顶点为 ，下顶点为 ，线段 交 轴于点 ，线段 交 轴于点 ，若△ 的面积是△
的 6 倍，求 点的坐标；
(3)点 关于原点的对称点为 ，点 ( 0, 0)，点 为 中点， 的延长线交椭圆于点 ，当∠ 最大时，求
直线 方程．
19.(本小题 17 分)
设 ∈ ，已知无穷数列{ }的各项均为正整数，且 1 = 1，记数列{ }的前 项所构成的集合为 =
{ 1, 2, , }，对于任意正整数 ，从集合 中任取不同的若干项(取出的项数大于等于 1，如果项数是 1，
运算结果是它本身)，如果这些项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值所构成的正整数集合为 ，
且 = {1,2, …, 1 + 2 + + }，则称数列{ }为完美数列．
(1)分别判断数列 = 和 = 2是否为完美数列，不需要说明理由；
(2)若等差数列{ }是完美数列，求{ }公差的所有可能取值；
(3)若从集合 中任取不同的若干项之间进行加减法运算后所得的数的绝对值互不相同，且{ }为完美数列.
1
证明： =1 < 1． +1
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.672
13. 725
14.①②④
15.解：(1) = 100 + 20 = 120， = 100 + 50 = 150；
(2)零假设为 0：选购新能源汽车的款式与性别无关联，
2 = 200(100×30 50×20)
2
根据列联表中的数据，可得 150×50×120×80 ≈ 11.111 > 7.879，
根据小概率值 = 0.05 的独立性检验，推断 0不成立，
可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 0.05；
(3) 1 = 50 1随机抽取 人购买 款车的概率为： 200 = 4，
1的可能取值有 0，1，2，3，4，依题意 服从 (4, 4 )， = 4．
1
因此， ( ) = = 4 × 4 = 1．
16.解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，则 // 且 = 12 ，
又 // 且 = 12 ，所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
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所以 //平面 ；
(2)取 的中点 ，连接 ，
因为四边形 为等腰梯形，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
过点 作直线 的垂线交 于点 ，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 1为直径，所以 = 2 ，
所以∠ = 30°，∠ = 60°，∠ = 30°，
在等腰梯形 中， = = = 3， = 6，
所以 = 32 ( 6 3 )2 32 = 2 3，
所以 ( 3 32 ,
3
2 , 0), (0, 3, 0), (0,
3 , 3 32 2 ), (0, 3, 0), (0,
3
2 ,
3 3 ，
2 )
所以 = ( 3 3 , 9 , 0)， 32 2 = (0, 2 ,
3 3 )，2
= ( 3 3 32 , 2 , 0)，
= (0, 3 3 3 ，2 , 2 )
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
3 3 9
则 ⊥ = 0 2
1 2 1 = 0
⊥
，则 ，所以 ， = 0 3 + 3 32 1 2 1 = 0
令 1 = 3，则 1 = 3， 1 = 1，所以 = (3, 3, 1)，
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
3 3 3
则 ⊥ = 0 2
2 + 2 2 = 0
⊥
，则 ，所以 ， = 0 3 + 3 32 2 2 2 = 0
令 2 = 3，则 2 = 1， 2 = 1，
所以 = ( 1, 3, 1)，
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设平面 与平面 的夹角为 ，
= |cos < , > | = | | = | 3+3 1| = 65则 | | | | 9+3+1× 1+3+1 65 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 65．
65
17.解：(1) ( )的定义域为( 1, + ∞)，
当 = 4 时， ( ) = 2 4 ( + 1) ( ) = 2 4 = 2( +2)( 1)， ′ +1 +1 ，
令 ′( ) = 0 得， = 2 或 = 1．
当 ∈ ( 1,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减； ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
所以当 = 1 时， ( )取极小值 (1) = 1 4 2．
(2) 2
2+2 +
证明： ′( ) = ， > 1， +1
当 > 1 时， ′( )与 ( ) = 2 2 + 2 + 同号．
因为 ( ) = 2 2 + 2 + 1的图象关于 = 2对称，又 ( )存在唯一极值点 0，
如图可得 ( 1) ≤ 0，所以 ≤ 0，
所以 (0) ≤ 0，故 0 ≥ 0．
将 = (2 20 + 2 0)代入得：
( ) + 20 0 = 2 20 + ( 0 + 1) = 2 0[ 0 ( 0 + 1)ln( 0 + 1)]．
构造 ( ) = ( + 1)ln( + 1)， ∈ [0, + ∞)，
则 ′( ) = ln( + 1) ≤ 0，
所以 ( ) ≤ (0) = 0，即 0 ( 0 + 1)ln( 0 + 1) ≤ 0，
所以 ( 0) + 20 ≤ 0．
2 2
18.解：(1) 因为椭圆
2 + 2 = 1, ( > > 0)的短轴长为 2，且过点(1,
3
2 )，
所以 = 1, 1 3 2 + 4 = 1，所以 = 2，
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2
因此椭圆方程为： + 24 = 1．
(2)如图，
, +1设 ( 0 0)，那么 ： =
0 0
+2 ( + 2), ： = 1，0 0

对 =
0+1 1，令 = 0 = 0 +1，0 0
1
△ 2| |×| |sin∠
= =
| |×| |
，
△ 12| |×| |sin∠ | |×| |
00
因此根据相似三角形性质可得： △
=
0 0+1 1，
△ 0+2
=
0 6
= 2 因此 0
+1
0 5 0 1
，
2 +1
又由于 0 + 2 0 2 24 0 = 1，因此
( 5 ) + 0 = 1， > 0，0 1 0
= 4 = 3 6 8解得 0 5或 0 5，因此对应的 0分别为 0 = 5或 0 = 5，
( 8 , 3 6 4因此 5 5 )或( 5 , 5 )．
(3)设 ( , )，
= 0 , = + 0那么 + ，0 0
22 2 2 0
那么 (1 )
0 4 1．
= 2 2 = 2 2 = 0 4 4 0 4
0
又由于 = 2
+ 0 = 3 0 = 3 ， 0 ( 0) 4 0 4
1
因此 =
1
，那么 3 = 3 ，
= 0设 > 0，直线 倾斜角为 ，直线 倾斜角为 ，0
因此∠ = ，
那么 tan∠ = 3 1 3 21+tan tan = 2 ( + 3 ) ≤ 2 × 3 = 3，
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2
由于∠ = ∈ ( 32 , )，因此∠ ≤ 3，此时 = ，3
因此 ： = 33 ．
19.解：(1)数列 = 是完美数列，而 2 = 不是完美数列；
(2)设{ }的公差 ≥ 3，考虑 2 = { 1, 2}，则 2 > 1 = 1，2 < 1 + = 2，而 2 1 = > 2，不符合题
意．
由(1)可知数列 = 是完美数列，故 的公差可能是 1．
又数列 = 2 1 是完美数列，故 的公差可能是 2；
因为 1 = 1，2 = 2 1，3 = 2，4 = 1 + 2，
故 A 2 = { 1, 2}中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值，
能够构成集合 2 = {1,2,3,4}，
假设 = { 1, 2, , }中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值，
能够构成集合 = {1,2, , 1 + 2 + + }，
若 1 + 1 + 2 + … + ≤ ≤ 1 + 2 + … + +1，
则当 ≥ 2 时， 2 +1 ≥ 1 + 1 + 2 + + +1 = 1 + (2 + 1) = ( 2) ≥ 0，
且 +1 ≤ 1 + 2 + + .若 +1 = 0，
则 = +1；若 1 ≤ +1 ≤ 1 + 2 + + ，
则 = { 1, 2, , }中若干项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值，
可以得到 +1，
则 可由 +1 = { 1, 2, , +1}中若干项之间进行加法或减法运算后，
得到故 A +1 = { 1, 2, , +1}中若干项之间进行加法或减法运算后，
所得的数的绝对值能够构成集合 +1 = {1,2, , 1 + 2 + + }结论得证．
故{ }的公差可能是 1 和 2．
(3)证明：记 = 1 + 2 + + ，由题意知，集合{ 1, 2, , }按上述规则，
总共会产生 个正整数；而集合{ 1, 2, , , +1}，
按上述规则产生的 +1个正整数中，除 1，2，…， 这 个正整数外，
还有 +1， + + ，| +1 |( = 1,2, , )共 2 + 1 个数．
所以 +1 = + (2 + 1) = 3 + 1．
+ 1 = 3( + 1因为 +1 2 2 )，所以 +1 = ( +
1 ) × 3 1 1 +1 11 2 2 = 2 × 3 2．
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又因为当 ≥ 2 1 1时， = 1 = ( 2 × 3 2 ) (
1 × 3 1 12 2 ) = 3
1．
而 1 = 1 也满足 1 = 3 ．
所以 = 3 1 ( ≥ 1)．
1 1
1 = 1 1 1 1因此 1 1 3
(1 1)3 1 1
=1 +1 =1 3 1+1
= 2 + =2 3 1+1 < 2 + =2 3 1 = 2 + 1 < 2 + 2 = 1．1 3
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