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2025年广东省广州市华南师大附中高考数学适应性试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，为单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量：∽，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，，则此数列前项的和为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，，则( )
A. B. C. D.
8.已知正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则( )
A. 函数为偶函数 B.
C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心
10.已知正方体的棱长为，是的中点，点是面上的动点包括边界，且满足平面，则下列结论正确的是( )
A. 动点的轨迹的长度为
B. 三棱锥体积的取值范围为
C. 当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为
D. 当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为
11.在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线：绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，，为与其中两条曲线的交点，若：，则( )
A. 开口向上的抛物线的方程为
B.
C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积不大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是奇函数，则实数 ______．
13.若直线与抛物线相切于第一象限点，则 ______．
14.掷一枚质地均匀的骰子次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为，，，则的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且满足．
求角的大小；
的内心为，求周长的取值范围．
16.本小题分
如图，四棱柱的棱长均为，且，，是中点．
求证：平面平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若，，讨论函数在的单调性；
若，求证：．
若在上有唯一的零点，求实数的最小值．
18.本小题分
已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值．
19.本小题分
将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第行
第行
第行
第行
将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置；
将数阵中所有相邻两位数字从左到右出现的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为．
求，，；
求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为，
所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】，
可得，
则，．
故选：．
3.【答案】
【解析】已知，为单位向量，且，
则，
即，
所以，
因此，
即．
故选：．
4.【答案】
【解析】随机变量，
则正态分布的曲线的对称轴为，
，
，解得，
当时，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为．
故选：．
5.【答案】
【解析】数列满足，，
可得，
，，，，，
故数列是以为周期的周期数列，
由，
则此数列前项的和．
故选：．
6.【答案】
【解析】由，可得，即，
所以，
因为有意义，所以，可得，
所以，即．
因此，．
故选：．
7.【答案】
【解析】根据题意，因为函数为奇函数，则，
故函数的对称中心为，且，
在等式中，令可得，解得，
在等式中，令可得，
因为函数为偶函数，则，
令，可得，求导得，
则，
由可得，令，则，
所以，函数是周期为的周期函数，
所以，．
故选：．
8.【答案】
【解析】由，得．
因为，均为正实数，所以当且仅当，即时取等号，
所以，即．
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故当时，，即当且仅当时取等号，
因此，即．
由和可得，
则且，解得，，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】对称中心完全相同，则周期相同，，
则，，是的一个对称中心，
故，，即，
又，故当，时满足条件，故，
对选项A：，函数定义域为，为偶函数，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：当时，不是的对称轴，错误；
对选项D：当时，，，故是的对称中心，正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】建系如图：
则，，，，
，，，，，
点在面上，坐标为，且平面，
平面的法向量由向量和，
叉乘得到：，向量与法向量正交，
即点积为：，
结合面的约束，，得，轨迹为线段从到，
长度为，选项A错误；
底面为三角形，面积时，，顶点到底面的距离为，
体积：，当时，；当时，，选项B正确；
体积最大时：球心为，半径平方，
表面积，选项C正确；
体积最小时：球心为，半径平方，
表面积，选项D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】抛物线：绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，，为与其中两条曲线的交点，
对于选项A，开口向右的抛物线方程为：，顶点在原点，
焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，
即，故A选项错误；
对于选项B，根据选项分析，由可解得，或，即，
代入可得，
由图象的对称性，可得、，故，即选项正确；
对于选项C，
设直线与抛物线相切，联立可得，
由可得，且方程即为，
解得，，此时，切点坐标为，
设直线与抛物线相切，联立可得，
由可得，此时方程即为，
解得，，此时，切点坐标为，
两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线垂直，
故当、时，取最大值，
且其最大值为，选项正确；
对于选项D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值．
如图，
对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为，
所以，抛物线在点处的切线方程为，即，
该切线交轴于点，
所以，半个花瓣的面积必小于，
故原图中的阴影部分面积必小于，故D选项正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】根据题意，函数，
因为，可知函数的定义域为，
又由函数是奇函数，则，
解得，则，
又因为
，
即，可知函数是奇函数，
所以符合题意．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】联立，消去并整理得，
此时，
解得，
因为切点位于第一象限，
所以，，
解得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】掷一枚质地均匀的骰子次，总的基本事件数为：，可分为以下四种情况：
，从到任选个数，最大的为，中间值为，最小的为，基本事件数为：，
，为从到任选个数，较大的为，，较小的为，基本事件数为：，
，从到任选个数，较大的为，较小的为，，基本事件数为：，
，从到任选个数，这个数为，，，基本事件数为：，
．
故答案为：．
15.【解析】在中，角，，所对的边分别为，，，
已知，且满足，
根据正弦定理，
得，
由，则，
根据两角和的正弦公式可得，
而，故，
又，
所以；
由可得，
即，
的内心为，即，
故，
设，则，
在中，由正弦定理得，
，
所以，
所以的周长为
，
因为，
所以，
所以
所以
故的周长的取值范围为．
16.【答案】证明见解答； ．
【解析】证明：连接交于，连结，
由题意得四边形是菱形，，即，
在中，，
，，
在中，，
，
同理可得，
是等腰三角形，
，
，，
，平面，又平面，
平面平面；
由得，，，
，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
取，则，
，
设是平面的一个法向量，
则，，
取，则，
，
，
二面角的余弦值为．
17.【解析】当时，，
所以，
由，所以，
令，则，所以或，
令，则，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
证明：若，则，
令，则，可得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以时，，即，所以；
令，即，
在上有唯一的零点，即直线与函数的图象有唯一的交点，
所以，由知，
所以，
所以在上单调递增，故，，，
所以，所以的最小值为．
18.【解析】Ⅰ因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，
所以，
此时，
所以椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
因为椭圆与直线相切，
所以，
解得，
所以，
则椭圆的标准方程为；
Ⅱ设直线的方程为，，，的中点为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
可得，
即，
所以线段的垂直平分线的方程为，
令，
解得，
即，
因为线段和线段互相垂直平分，
所以四边形为菱形，
要使四边形为正方形，
需满足，
所以
，
即，
解得．
则的值为．
19.【解析】设，因为，
，
所以，
所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数，所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项，
所以，，故，所以，是数阵第行，第个数．
当时，显然当时，第行位数有个，其中只有去掉．故，当时，
第行位数有个，其中有两种情况去掉：百位和十位分别为，此时有个；
十位和个位分别为，此时有个．故．
当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类：
个位数字不等于时，个位数字有种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个；
个位数字等于时，前面位数有种取法，但这个位正整数中十位数字等于的个正整数要去掉．
故个位数字等于且十位数字不等于的位正整数有个．
综上，由加法原理知设，
所以，，即，解得，
所以，是首项为，公比为的等比数列；
是首项为，公比为的等比数列；
所以，，
所以，当时，，
经检验，当时，也成立，当时，也成立．
综上，．
第5页，共15页

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