资源简介

2024-2025 学年山东省济南市旅游学校高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 ( ) = 2 → 0 ( 0+ ) ( .设函数 在 0)0处存在导数为 ，则 2 =( )
A. 2 B. 1 C. 23 D. 6
2.( 1)7的展开式中的第五项为( )
A. 21 B. 21 2 C. 35 D. 35 3
3.甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方
式共有( )
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
4.已知函数 ( ) = 2 1，若 ′( 0) = 2，则 0 =( )
A. 1 B. 32 C. 3 D. 2
5.某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第
2
三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是3，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为( )
A. 227 B.
3
13 C.
2 2
13 D. 9
6.已知一道解答题共有两小问，第一问 7 分，第二问 8 分，高三(2)班 50 个人中有 30 个人能够解答出第
一问.在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为 0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出
来的概率为 0.7，则解答出第二问的概率为( )
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
7.设 ′( )是函数 ( )的导函数，将 = ( )和 = ′( )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的
是( )
A. B. C. D.
8.已知函数 ( ) = ( 1)的大致图象如图所示，则不等式 ( ) ′( ) < 0 的解集为( )
A. ( 2, 1) B. (1,2)
C. ( 12 , 1) D. (2, + ∞)
第 1页，共 7页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一批产品中有 3 个正品，2 个次品．现从中任意取出 2 件产品，记事件 ：“2 个产品中至少有一个正品”，
事件 ：“2 个产品中至少有一个次品”，事件 ：“2 个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是( )
A.事件 与事件 为互斥事件 B.事件 与事件 是相互独立事件
C. ( ) = ( ) D. ( | ) = 23
10.3 名学生，2 名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是( )
A.任意站成一排，有 120 种排法 B.学生不相邻，有 24 种排法
C.教师相邻，有 48 种排法 D.教师不站在两边，有 72 种排法
11 .已知函数 ( ) = ( 2) + ，则( )
A.当 ≤ 0 时，函数 ( )的减区间为( ∞,1]
B.当 = 2时，函数 ( )的图象是中心对称图形
C.若 = 1 是函数 ( )的极大值点，则实数 的取值范围为( , + ∞)
D.若过原点可作三条直线与曲线 = ( )相切，则实数 的取值范围为( 3, + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知离散型随机变量 的分布列为
0 1 2
1 1
2 2 3
则 ( ∈ ) = ______．
13.已知( + 1)5( 2)3 = 0 + 1 + + 8 8，则 4 = ______．
14.若曲线 = ( + ) 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某种产品的加工需要经过 6 道工序．
(1)若其中 、 两道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序？
(2)若其中 、 、 三道工序必须相邻.问有多少种加工顺序？
(3)若其中 、 两道工序都不能放在第三和第六位置， 道工序不能放在第五位置，问有多少种加工顺序？
(注：以上问题作答要写出必要的数学式，结果用数字表示)
第 2页，共 7页
16.(本小题 15 分)
第 24 届冬季奥林匹克运动会于 2022 年 2 月 4 日至 20 日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主
办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的
学生从夏奥知识题中抽取 2 题，冬奥知识题中抽取 1 题回答，已知学生(含甲)答对每道夏奥知识题的概率
3 2
为4，答对每道冬奥知识题的概率为3，每题答对与否不影响后续答题．
(1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？
(2)求学生甲答对的题数 的分布列．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + , ∈ ．
(1)当 = 2 时，求函数 ( )的极值；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若函数 ( )在[1,2] 3上的最小值是2，求 的值．
18.(本小题 17 分)
已知二项式(2 1) 展开式中，前二项的二项式系数和是 11．
(1)求 的值；
(2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
(3)求上述展开式中所有偶数项的系数和．
19.(本小题 17 分)
1+
已知函数 ( ) = ( ∈ )．
(1)若 = 0，求 ( )的极值；
(2)若 ( ) ≤ 0 在(0, + ∞)上恒成立，求 的取值范围．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 910
13.25
14.( ∞, 4) ∪ (0, + ∞)
15.解：(1)已知 、 两道工序不能放在最前面也不能放在最后面，
先从另外 4 道工序中任选 2 道工序放在最前面与最后面，有 24 = 12 种不同的排法，
再将其余的 4 道工序全排列，有 44 = 24 种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有 12 × 24 = 288 种加工顺序．
(2)已知 、 、 三道工序必须相邻．
先排这 3 道工序，有 33 = 6 种不同的排法，
再将它们看作一个整体，与其余的 3 道工序全排列，有 44 = 24 种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有 6 × 24 = 144 种加工顺序．
(3)已知 、 两道工序都不能放在第三和第六位置， 道工序不能放在第五位置，
①若 安排在第五位置，则 有 3 种安排方法，余下的有 44 = 24 种安排方法，
合计有 3 × 24 = 72 种加工顺序；
②同理，若 被安排在第五位置，也有 72 种加工顺序；
③若 、 两道工序都不被安排在第五位置，则 、 可选第一、二、四位置中的两个即有 23 = 6 种方法，
有余下四个位置中除第五位置的三个位置可选，有 3 种方法，
第 4页，共 7页
余下的有 33 = 6 种方法，合计有 3 × 6 × 6 = 108 种加工顺序，
综上所述共有 72 + 72 + 108 = 252 加工顺序．
16.解：(1)参加的学生从夏奥知识题中抽取 2 题，冬奥知识题中抽取 1 题回答，
3 2
已知学生(含甲)答对每道夏奥知识题的概率为4，答对每道冬奥知识题的概率为3，
每题答对与否不影响后续答题，
3 1 3 1 2 7
则学生甲恰好答对两题的概率 = ( 4 )
2 × 3 + 2 × 4 × 4 × 3 = 16；
(2)随机变量 的可能取值为 0，1，2，3，
且 ( = 0) = ( 1 2 1 14 ) × 3 = 48，
( = 1) = 12 ×
3 × 14 4 ×
1
3+ (
1 2 2 1
4 ) × 3 = 6，
( = 2) = 716，
( = 3) = ( 3 )2 × 24 3 =
3
8，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
1 1 7 3
48 6 16 8
17. 解：(1)根据题目：已知函数 ( ) = + , ∈ ，
当 = 2 时， ( ) = + 2 ，
( ) = 1 2 2′ 2 = 2 ，令 ′( ) = 0，则 = 1，
当 0 < < 2 时， ′( ) < 0，此时 ( )单调递减，
当 > 2 时， ′( ) > 0，此时 ( )单调递增，
当 = 2 时，则 ( )的极小值为 (2) = 1 + 2，无极大值．
(2) ′( ) = 1 2 = 2 ， > 0，
若 ≤ 0，则 ′( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 > 0 时，令 ′( ) > 0，解得 > ，令 ′( ) < 0，解得 0 < < ，
则其在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
第 5页，共 7页
当 > 0 时， ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
(3) 1 ′( ) = 2 = 2 ， > 0，
若 ≤ 1，则 ′( ) ≥ 0 在[1,2]上恒成立，
所以 ( )在[1,2]上单调递增，
根据题目：函数 ( )在[1,2] 3上的最小值是2，
所以 ( ) = (1) = =
3
2，不满足题意；
若 1 < < 2，令 ′( ) < 0，解得 1 ≤ < ，令 ′( ) > 0，解得 < ≤ 2，
所以函数 ( )在[1, )单调递减，( , 2]单调递增，
所以 ( ) = ( ) = + 1 =
3
2，解得 = ，满足题意；
若 ≥ 2，则 ′( ) ≤ 0 在[1,2]上恒成立，
所以 ( )在[1,2]上单调递减，
所以 ( ) = (2) = 2 +
3
2 = 2，解得 = 3 4 < 2，不满足题意，
综上， = ．
18.解：(1)由题可得： 0 + 1 = 11，得到 1 + = 11，解得 = 10．
(2)由二项式性质得二项式系数之和为210 = 1024，
令 = 1，可得各项系数之和为(2 1)10 = 1，
所以二项式系数之和与各项系数之和的差为 1024 1 = 1023．
(3)令设 ( ) = (2 1)10 = + + 2 + … + 100 1 2 10 ，
则 (1) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 1
( 1) = 0 1 + 2 3 + 4 5 + 6 7 + 8 9 + 10 = ( 3)10 = 310，
10
所以 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
(1) ( 1) 1 3
2 = 2 ．
19.解：(1) = 0 1+ 时， ( ) = , ′( ) =

2 .令 ′( ) = 0，则 = 1．
∈ (0,1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( )在 = 1 1+ 1处取得极大值，极大值为 (1) = 1 = 1，无极小值．
(2)由 ( ) ≤ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
1+
故 ≤ ，设 ( ) =
1+
， > 0，
第 6页，共 7页
由(1)可知 ( )在 = 1 处取得极大值，也是最大值，故 F( ) = (1) = 1，
故 ≥ 1，即 的取值范围是[1, + ∞)．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑