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第8章　8.6　8.6.3　第1课时平面与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．若平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于( )
A. B．
C. D．
3．已知直线l，两个不同的平面α，β，下列命题正确的是( )
A．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，l⊥α，则l∥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
4．已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
5．(多选题)在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
6．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长都相等，则二面角A1－BC－A的余弦值为( )
A. B.
C. D.
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是( )
A．AC B．BD
C．A1D1 D．A1A
8．(多选题)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中则有( )
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．平面EFH⊥平面AEF
D．平面AFH⊥平面EFH
二、填空题
9．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是___.
10.在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有___对．
11．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝___.
12．在三棱锥S－ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝a，SB＝2a，则二面角S－AC－B的大小为___.
13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的条件即可)
三、解答题
14.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．
(1)求证：DE＝DA；
(2)求证：平面BDM⊥平面ECA.
15.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1.
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
16．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．证明：平面BED⊥平面ACD.
第8章　8.6　8.6.3　第1课时平面与平面垂直的判定
一、选择题
1．C
[解析]　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错误；由直线与平面垂直的判定定理和平面与平面垂直的判定定理知，B，D错误，C正确．
2．C
[解析]　如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设A1A＝a，则AO＝a，
所以tan∠A1OA＝＝.
3．A
[解析]　因为l∥α，则在平面α内存在直线a使得l∥a，又l⊥β，所以a⊥β，
由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故A正确；若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l β，故B错误；若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l⊥β或l∥β或l β或l与β相交(不垂直)，故D错误；故选A.
4．D
[解析]　由a∥α，知α内必有直线l与a平行，而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.
5．ABD
[解析]　对于A选项，AB⊥PA，AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；对于B选项，由BC⊥AB，BC⊥PA，且AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB；对于D选项，CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又CD 平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.
6．B
[解析]　取BC的中点M，连接AM，A1M，
因为△ABC为等边三角形，则AM⊥BC，
又因为AA1⊥平面ABC，AB，AC，AM 平面ABC，则AA1⊥AB，AA1⊥AC，AA1⊥AM，
可知△AA1B≌△AA1C，可得A1B＝A1C，则A1M⊥BC，
所以二面角A1－BC－A的平面角为∠AMA1，
设AB＝2，则A1A＝2，AM＝，A1M＝＝，
所以cos∠AMA1＝＝＝.
故选B.
7．B
[解析]　在正方体中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.
又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1C1C.
∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1C1C，
∴CE 平面AA1C1C，∴BD⊥CE.
8．AD
[解析]　由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF且平面AFH⊥平面EFH，故选AD.
二、填空题
9． _平行__.
[解析]　由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．
10. _3__．
[解析]　∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，
∵PA 平面PAB，PA 平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.
11． _13__.
[解析]　连接BC.∵BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，
∴BD⊥α，∵BC α，∴BD⊥BC，∴△CBD是直角三角形．
在Rt△BCD中，CD＝＝13.
12． _90°__.
[解析]　因为AC⊥平面SBC，SC，BC 平面SBC，
∴AC⊥SC，AC⊥BC，
∴二面角S－AC－B的平面角为∠SCB.
又SC＝a，BC＝a，SB＝2a，
所以SB2＝SC2＋BC2，
故△SCB为直角三角形，
∴∠SCB＝90°.
13． BM⊥PC
[解析]　∵四边形ABCD的边长相等，
∴四边形ABCD为菱形．∵AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线．
∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM.
∴平面PCD⊥平面BDM.
三、解答题
14.
[证明]　(1)取EC的中点F，连接DF.
∵CE⊥平面ABC，
∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.
∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.
(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綉CF.
∵BD綉CF，∴MN綉BD，
∴N∈平面BDM.
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.
又∵BN 平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.
15.
[解析]　(1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝.
因为PC＝2，BC＝1，
所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB.
因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB.
因为PB∩AB＝B，PB 平面PAB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示．
由(1)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PE.
因为AB∩BC＝B，所以PE⊥平面ABCD.
因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，
所以PE＝.
因为四边形ABCD是直角梯形，所以四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝××(1＋2)×1×＝.
16．
[证明]　因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；
在△ABD和△CBD中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；
又因为DE，BE 平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，
因为AC 平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.

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