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第8章　8.6　8.6.3　第2课时平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1交A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A．平行
B．EF 平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．相交且垂直
2．已知空间中a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．a α，b β，α∥β a与b异面
B．β⊥α，α∩β＝b，a⊥b a⊥β
C．a⊥α，a⊥b b∥α
D．a⊥α，b⊥α a∥b
3．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是( )
A．l∥β或l β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
4．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是( )
A．m∥n B．n⊥m
C．n∥α D．n⊥α
5．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
6．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
7．把边长为4的正方形ABCD，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为( )
A．4 B．4
C．2 D．2
8．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
二、填空题
9．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是___.
10.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝　.
11.如图，在三棱锥C－ABD内，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为___.
12．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于　.
13．在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是 　.
三、解答题
14．如图，AE，CD都垂直于平面ABC，平面BCD⊥平面BDE，且BC＝CD＝2AE，F为BD的中点，求证：
(1)EF∥平面ABC；
(2)EF⊥平面BCD.
15．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
16．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1.
(1)求证：平面BD1C1⊥平面A1B1CD；
(2)在棱AB上是否存在一点M，使D1B⊥平面MB1C？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
第8章　8.6　8.6.3　第2课时平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．D
[解析]　由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF⊥平面A1B1C1D1相交且垂直．
2．D
[解析]　因为a α，b β，α∥β，可得a与b异面或平行，故A错误；因为β⊥α，α∩β＝b，a⊥b，但不确定a与α的位置关系，故无法确定a与β是否垂直，故B错误；因为a⊥α，a⊥b，可得b∥α或b α，故C错误；因为a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质可得a∥b，故D正确；故选D.
3．A
[解析]　直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或l β，A正确；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，∴B错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则m⊥α或m与α相交或m α或m∥α，∴C错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，∴D错误．故选A.
4．B
[解析]　由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.
5．B
[解析]　∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，PD 平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.
6．A
[解析]　连接AC1.∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC 平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.
7．A
[解析]　如图所示，取BD的中点O，
连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，
由平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以∠AOC＝90°；
又AO＝CO＝BD＝×4＝2，
所以AC2＝AO2＋CO2＝8＋8＝16，
所以AC＝4，
即空间四边形ABCD的对角线AC＝4.
8．A
[解析]　由已知条件可知∠BAB′＝，
∠ABA′＝，设AB＝2a，
则BB′＝2asin ＝a，A′B＝2acos ＝a，
∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.
二、填空题
9． _平行__.
[解析]　因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
10. 　.
[解析]　∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
∴PA⊥AB，
∴PB＝＝＝.
11. _6__.
[解析]　∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD 平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．
12． 　.
[解析]　如图，取CD的中点G，连接MG，NG .
因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG 平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF，又NG 平面DCEF，所以MG⊥NG，所以MN＝＝.
13． 直角三角形　.
[解析]　如图，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE 平面ABD，
∴AE⊥平面BCD，
又∵BC 平面BCD，∴AE⊥BC.
∵DA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴DA⊥BC，
又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，
而AB 平面ABD，所以BC⊥AB.
即△ABC 为直角三角形．
三、解答题
14．
[证明]　(1)如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG，
因为F为BD的中点，FG为△BCD的中位线，所以FG∥CD，FG＝CD，
又因为AE，CD都垂直于平面ABC，且CD＝2AE，所以AE∥CD，AE＝CD，
所以FG∥AE，FG＝AE，所以四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG，
又因为EF 平面ABC，AG 平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)连接CF，因为BC＝CD，F为BD的中点，所以CF⊥BD，
又因为平面BCD⊥平面BDE，平面BCD∩平面BDE＝BD，CF 平面BCD，
所以CF⊥平面BDE，
因为EF 平面BDE，所以CF⊥EF，
因为CD⊥平面ABC，AG 平面ABC，所以CD⊥AG，
又因为EF∥AG，所以CD⊥EF，
因为CF∩BD＝F，且CF，BD 平面BCD，
所以EF⊥平面BCD.
15．
[证明]　(1)∵PA＝PD，且E为AD的中点，
∴PE⊥AD.
∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.
(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，
∵PD⊥平面PAB，PD 平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD.
∵F，G分别为PB和PC的中点，
∴FG∥BC，且FG＝BC.
∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
∴ED∥BC，DE＝BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，
∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD.
又EF 平面PCD，GD 平面PCD，∴EF∥平面PCD.
16．
[解析]　(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，D1C1⊥平面BCC1B1.
∵B1C 平面BCC1B1，∴D1C1⊥B1C，
∵BC＝CC1＝1，∴四边形BCC1B1为正方形，
∴B1C⊥BC1.
又BC1∩D1C1＝C1，∴B1C⊥平面BD1C1.
∵B1C 平面A1B1CD，
∴平面BD1C1⊥平面A1B1CD.
(2)假设在棱AB上存在点M，使D1B⊥平面MB1C.
连接BD交MC于点O.
∵CM 平面MB1C，∴D1B⊥CM.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD.
∵CM 平面ABCD，∴D1D⊥CM.
又D1D∩D1B＝D1，∴CM⊥平面BDD1.
∵BD 平面BDD1，∴CM⊥BD.
∵四边形ABCD为矩形，∴△ABD∽△BCM，
∴＝，
设AM＝m(0∴在棱AB上存在点M，使D1B⊥平面MB1C，此时AM＝.

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