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2025年安徽省淮南市九年级中考学情调研（三）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．中科院合肥物质科学研究院等离子体物理研究所“人造太阳”之称的全超导托卡马克核聚变实验装置（EAST）实现1056秒的长脉冲高参数等离子体运行，“人造太阳”表面的温度高达1.6亿度，是太阳的数十倍，将数据1.6亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形中，，，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、、，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在边长为4的正方形中，与相交于点，是同平面内的一动点，且，是中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数、、满足，则下列选项正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当、、中有两个相等时，
D．二次函数与一次函数的图像只有一个交点
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解：
12．如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为 ．
13．如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ．
14．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，，连接．
（1）当点E落在上时，的长为 ；
（2）的最小值是 ．
三、解答题
15．解不等式组，并求出整数解的和．
16．图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，分别按下列要求作图．
(1)在图1中，画一条线段，将线段分为的两部分；（要求：点，均在格点上）
(2)在图2中的边上找一点，在边上找一点，连接，使，且相似比为．
17．列二元一次方程组解决问题：某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元．求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？
18．观察下列等式，其中反映了某种规律：
；；，
(1)按照这种规律在括号里填入相应的数：；
(2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式．
19．如图为一名滑板运功员在滑板过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的膝盖以下部分与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，H为头部．假设三点D，F，H三点在同一条直线上，且头部到斜坡的距离为1.04米，上身与大腿夹角，膝盖F与滑雪板后端E的距离长为0.8米，若，则此运动员的身高约为多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：，，）
20．如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长．
21．每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如表所示．
类别 A B C D
视力 视力 视力 视力
健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良
为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全条形统计图，本次抽查的学生中，D类所在扇形的圆心角的度数是_______；
(2)对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为________类；
(3)已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数．
22．在中，，将绕点顺时针旋转，得到，以和为边作（点与点不重合），直线与射线交于点．

(1)如图1，当是直角三角形，时，求证：；
(2)如图2，当是锐角三角形时，求证：四边形是菱形；
(3)直线与射线交于点，若，直接写出的值．
23．已知拋物线（a，b，c为常数）．
(1)若直线是抛物线的对称轴，且，抛物线与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是点关于抛物线对称轴的对称点，过A，D两点的直线与轴交于点E．
①求抛物线的解析式；
②若点是拋物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．线段与直线交于点，当时，求点的坐标；
(2)若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值．
《2025年安徽省淮南市九年级中考学情调研（三）数学试题》参考答案
1．A
解：的绝对值是2，
故选：A．
2．C
从数轴可知，，且，
根据相反数的性质，的相反数的相反数，
所以，
故选：C．
3．A
解：它的主视图是，
故选A．
4．B
解：将数据1.6亿用科学记数法表示为．
故选：B．
5．A
解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得：
故答案为：A．
6．B
解：由题意得：，
，
，
，
，
，
故选：B．
7．A
解：如图：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∵E为的中点，
∴，，
由勾股定理得：，
同理可得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴阴影部分的面积：
．
故选：A．
8．C
解：∵是同平面内的一动点，，
∴点为正方形外接圆上一点，
延长至H，使，
∵是中点，
∴为的中位线，
∴，
由三角形两边之和大于第三边可知，当点O，E，H三点共线时，最小，
过点O作于M，
∵为正方形，边长为4，
，
，
，
，
∴的最小值，
故选C．
9．A
解：∵，
∴，
∴，
∴当，即时，，故A正确，符合题意；
当时，则，
∴，
∴，故B错误，不符合题意；
当时，则；
当时，，若，则，若，则，解得，则，解得；
当时，也可按时讨论，故C错误，不符合题意；
由，可得，
∴根的判别式为，
∴二次函数与一次函数的图象有2个交点，故D错误，不符合题意．
故选：A．
10．A
解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
，，
，
，
，，，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为．
轴，
N的横坐标为x，
（1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，
，
，
，
该段图象为开口向上的抛物线；
（2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为，
，
该段图象为直线；
（3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，
由，可得直线的解析式为，
，，
，
，
该段图象为开口向下的抛物线；
观察四个选项可知，只有选项A满足条件，
故选A．
11．
解：．
故答案为：．
12．
解：过作，交于，过作于，
设，，
由题意可知：，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（负值已舍去）
∴，，
∴的坐标为，
∴，
∴经过的双曲线的解析式就是，
故答案为：．
13．
解：正方形面积为：，
设该银杏叶的面积为，依题意得：
，
解得：，
∴估计该银杏叶的面积为，
故答案为：．
14．
解：（1）当点落在上时，如图所示：
是以为直角边的等腰直角三角形，
，
∵四边形是矩形，，
， ，
在中， 由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：；
（2）过点作于点， 的延长线交于点， 过点作于点， 于点， 如图所示：
设，
∵， ，
∴，
，
，
，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∴四边形和四边形均为矩形，
，
，
在中， 由勾股定理得：，
，
∴当 时，为最小，最小值为
∴ 的最小值为：，
故答案为：．
15．，6
解：
由①得：，
由②得：，
此不等式组的解集为．
∵整数解
∴，2，3
那么整数解的和为：
16．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图1，为所求；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：如图2，为所求；
∵，
∴，
∴，即相似比为．
17．甲种文创产品每件的费用为30元，乙种文创产品每件的费用为25元．
解：设甲种文创产品每件的费用为元，乙种文创产品每件的费用为元，
由题意可得，
得：，
将代入②中可得：，
∴，
答：甲种文创产品每件的费用为30元，乙种文创产品每件的费用为25元．
18．(1)24，24
(2)第n个式子是：（n为正整数，且）；证明见解析
（1）解：；；，，
，
故答案为：24，24；
（2）第n个式子是：（n为正整数，且）；
证明：
（n为正整数，且）．
19．约为
解：在中，，
则，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
答：此运动员的身高约为．
20．(1)见解析
(2)的长为．
（1）证明：连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴设，则，，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
∴，，
∴，
整理得，
解得，
∴，，
在中，由勾股定理得，
即，
整理得，
∵，
∴，
∴，即的长为．
21．(1)
(2)B
(3)135人
（1）解：观察两个统计题知：类有7人，占，
所以调查的总人数为（人，
视力情况属于类的学生有（人，
类所在扇形的圆心角的度数为．
补全条形统计图，如下：
（2）解：每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人，
所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了类，
所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为类．
（3）解：（人，
所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
22．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)或1
（1）证明：将绕点顺时针旋转，得到，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：延长至点H，使得，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
由旋转得，，，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形．
（3）解：分两种情况讨论：
①如图，若直线与线段交于点，
由（2）有，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转可得，
由（2）有是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②如图，若直线与线段的延长线交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转可得，
延长至点N，使得，连接，，
由（2）有是等边三角形，
∴，，
∴，
由（1）有四边形是菱形，且，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为或1．
23．(1)①；②点的坐标为或
(2)n的值为
（1）解：①∵抛物线的对称轴为直线，且，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
②令，得，
∴解得，，
∴，，
令，得．
∴，
∵点是点关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为直线，
∴，
设直线的详解式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的详解式为：．
如图，设点的坐标为（其中），
则，．
当时，
可得，
∴或
解得：，（舍去）．
当时，，
∴点的坐标为；
解得：，（舍去）．
当时，，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
（2）解：∵抛物线过点，得，
又∵，
解得：，，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴
过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G，
则，
∴，
设与x轴交于K，由旋转可得，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的解析式为，
∴，
解得，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：．

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