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2024-2025 学年天津市南开区崇化中学高二（下）段考数学试卷（二）
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1 1.二项式( )6 的展开式中的常数项为( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
2 1.某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是3，
遇到红灯时停留的时间都是 2 ，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的期望为( )
A. 5 B. 1 C. 12 + 2 D.
8
3
3 ( ) = .函数 2+1的单调递增区间是( )
A. ( ∞, 1) B. ( 1,1)
C. (1, + ∞) D. ( ∞, 1)和(1, + ∞)
4.学校要从 10 名候选人中选 2 名同学组成学生会，其中高二(1)班有 4 名候选人，假设每名候选人都有相
同的机会被选到，若 表示选到高二(1)班的候选人的人数，则 ( ) =( )
A. 3 8 3 44 B. 9 C. 8 D. 5
5.已知随机变量 服从正态分布 ( , 4)，且 ( > 1) = 0.5，则实数 的值为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
6.设随机变量 等可能取值 1，2，3，…， ，如果 ( < 4) = 0.3，那么( )
A. = 3 B. = 4 C. = 10 D. = 9
7.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件 为“两次所得点数均为奇数”， 为“至少有一次点数是 5”，则
( | ) =( )
A. 2 B. 53 9 C.
1 1
2 D. 3
8.已知定义在 上的可导函数 = ( )的导函数为 ′( )，满足 ( ) < ( ) (0) = 2 ( )′ ，且 ，则不等式 >
2 的解集为( )
A. ( ∞,0) B. (0, + ∞) C. ( ∞,2) D. (2, + ∞)
9.7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，
其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( )
A. 120 B. 240 C. 360 D. 480
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10.有一道数学题，不知道答案的概率为 0.6，如果知道答案则本题答对的概率为 0.9，不知道答案则本题答
对的概率为 0.2，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为( )
A. 0.75 B. 0.52 C. 0.48 D. 0.25
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
11.计算： 18 + 38 + 5 78 + 8 = ．
12 1.已知随机变量 ～ (4, 4 )，则 (2 + 1) = ______．
13.把 3 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，每个盒子最多放 2 个小球，则不同方法有______种(用数字
作答)．
14 1.(1 + )(1 + )4 展开式中
3的系数是______(用数字作答)．
15.某届冬奥会奥运村有智能餐厅 、人工餐厅 ，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去
餐厅，那么第二天去 餐厅的概率为 0.7；如果第一天去 餐厅，那么第二天去 餐厅的概率为 0.8.运动员甲
第二天去 餐厅用餐的概率为______．

16.已知函数 ( ) = , > 0 ，若函数 = ( ) ( 为常数)有且仅有 4 个零点，则 的取值范围
2 2 , ≤ 0
是______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 13 分)
老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让同学背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格．某同学只能背诵其中的
6 篇．
(Ⅰ)求抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(Ⅱ)求他能及格的概率．
18.(本小题 13 分)
(1)若(1 + 2 )2015 = 0 + 21 2 … 20152015 ( ∈ )，求( 0 + 1) + ( 0 + 2) + … + ( 0 + 2015)
的值；
(2)若(1 2 )8 = 0 + 2 81 + 2 + … + 8 ，求| 0| + | 1| + | 2| + … + | 8|的值．
19.(本小题 13 分)
3 2+
设函数 ( ) = , ∈ ．
(1)若 ( )在 = 0 处取得极值，求实数 的值；
(2)若 ( )在[3, + ∞)上为减函数，求实数 的取值范围．
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20.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( 2) 1 22 + ( ∈ )．
(Ⅰ)当 = 0 时，求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(Ⅱ)若 > 0，讨论函数 ( )的单调性；
(Ⅲ)当 ≥ 2 时， ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.128
12.3
13.16
14.5
15.0.75
16.(0, 1 )
17.解：(Ⅰ)设从 10 篇课文中随机抽 3 篇该同学能背诵的篇数为 ，则 可取 0，1，2，3，且服从超几何分
布
3
∴ ( = ) = 6 43 ( = 0,1,2,3) 10
∴ 的分布列为
0 1 2 3
1 3 1 130 10 2 6
(Ⅱ)该同学能及格，表示他能背诵 2 篇或 3 篇，故概率为 ( ≥ 2) = ( = 2) + ( = 3) = 1 1 22 + 6 = 3．
18.解：(1)令 = 0，则 0 = 1，
令 = 1，则 1 = 0 + 1 + 2 + … + 2015，
所以( 0 + 1) + ( 0 + 2) + … + ( 0 + 2015) = 2014 0 + ( 0 + 1 + 2 + … + 2015) = 2014 + ( 1) =
2013．
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(2)(1 2 )8展开式的通项公式为 +1 = 8( 2 ) ，
所以当 为偶数时，系数为正，当 为奇数时，系数为负，
所以| 0| + | 1| + | 2| + … + | 8| = 0 1 + 2 3 + … + 8，
令 = 1，则(1 + 2)8 = 0 1 + 2 3 + … + 8 = 38，
故| 0| + | 1| + | 2| + … + | | = 388 ．
2
19. 3 +(6 ) + 解：(1) ′( ) = ，
∵ ( )在 = 0 处取得极值，∴ ′(0) = 0，解得 = 0，
2 2
当 = 0 时， ( ) = 3 ′ 3 +6 ， ( ) = ，符合题设；
(2)由 ( )在[3, + ∞)上为减函数，
∴ ′( ) ≤ 0 在[3, + ∞)上恒成立，
2
可得 ≥ 3 +6 1 在[3, + ∞)上恒成立．
( ) = 3
2+6 ′( ) = 3[( 1)
2+1]
令 1 ， ( 1)2 < 0，
∴ ( )在[3, + ∞)上单调递减，
∴ ≥ (3) = 92．
9
因此 的取值范围为：[ 2 , + ∞)．
20.解：(Ⅰ)当 = 0 时， ( ) = ( 2) ， ′( ) = ( 1) ，
(0) = (0 2) 0 = 2，
′(0) = (0 1) 0 = 1，
所以曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为： + 2 = ( 0)，
即： = 2．
(Ⅱ)由 ( ) = ( 2) 12
2 + ，可得 ′( ) = ( 1) + = ( 1)( )，
由于 > 0， ′( ) = 0 的解为 1 = ， 2 = 1，
(1)当 = 1，即 = 时， ′( ) ≥ 0，则 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增，
(2)当 < 1，即 0 < < 时，
在区间( ∞, )，(1, + ∞)上， ′( ) > 0；在区间( , 1)上， ′( ) < 0，
所以 ( )在( ∞, )，(1, + ∞)上单调递增；在( , 1)上单调递减．
(3)当 > 1，即 > 时，
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在区间( ∞,1)，( , + ∞)上， ′( ) > 0；在区间(1, )上， ′( ) < 0，
则 ( )在( ∞,1)，( , + ∞)上单调递增，在(1, )上单调递减．
(Ⅲ) ′( ) = ( 1)( )
(1)当 ≤ 0 时，因为 ≥ 2，所以 1 > 0， > 0，所以 ′( ) > 0，
则 ( )在[2, + ∞)上单调递增， ( ) ≥ (2) = 0 成立，
(2)当 0 < ≤ 2时， ′( ) ≥ 0，
所以 ( )在[2, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (2) = 0 成立，
(3)当 > 2时，在区间(2, )上， ′( ) < 0；在区间( , + ∞)， ′( ) > 0，
所以 ( )在[2, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
所以在区间[2, )上， ( ) ≤ (2) = 0，不符合题意，
综上所述， 的取值范围是( ∞, 2].
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