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2024-2025学年甘肃省酒泉市敦煌中学高一（下）期中考试
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = 2+4 .已知复数 1 ，其中 为虚数单位，则 在复平面内对应的点的坐标为( )
A. ( 1,3) B. (1, 3) C. (3, 1) D. ( 3,1)
2.若函数 ( ) = 3 ，则 ( )可以化简为( )
A. 2 ( + ) B. 2 ( 3 3 ) C. 2 ( + 6 ) D. 2 (

6 )
3.如果一架飞机向西飞行 400 ，再向东飞行 500 ，记飞机飞行的路程为 ，位移为 ，那么 | | =( )
A. 800 B. 700 C. 600 D. 500
4 7 23 33.已知 = tan( 6 )， = cos 4 ， = sin( 4 )，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高 ，小胡同学先在塔
的正西方点 处测得塔顶的仰角为 45°，然后从点 处沿南偏东 30°方向前进
140 米到达点 处，在 处测得塔顶的仰角为 30°，则铁塔 的高度是( )
A. 70 米
B. 80 米
C. 90 米
D. 100 米
6.如果{ 1, 2}表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是( )
A. 2， 1 2 2 B. 1 + 2 2， 2+ 2 1
C. 1 3 2，6 2 2 1 D. 1 2， 1 3 2
7.在△ 中，内角 、 、 所对边分别为 、 、 ，若2 = 3 = 5 ，则∠ 的大小是( )
A. 12 B.

6 C. 4 D. 3
8.古希腊数学家特埃特图斯( )利用如图所示的直角三角形来构造无理
数.已知 = = = 2， ⊥ ， ⊥ ，若 = + ，则 + =( )
A. 22 B.
2
2
C. 2+1 2 12 D. 2
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 9.已知复数 = 20+ ( 为虚数单位)，复数 的共轭复数为 ，则下列结论正确的是( )
A.在复平面内复数 所对应的点位于第四象限

B. = 12
3
2

C. = 52
D. = 4 5+
3
5
10.已知函数 ( ) = | |，则( )
A. ( )是偶函数 B. ( )的最小正周期为
C. ( ) 1的最大值为2 D. ( )在 ∈ [0,

2 ]上单调递增
11.已知 = 2 ，则( )
A. , ∈ (0, 2 )，使得 = 2
B. 2若 = 5，则 sin( ) =
1
5
C. 2 7若 = 5，则 cos(2 + 2 ) = 25
D. ∈ (0, ) tan( ) 2若 ， 2 ，则 的最大值为 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知(2 ) = 4 + ，其中 ， 是实数，则 + = ______．
13.已知 + = 23，则 2 的值为______．
14.如图，在扇形 中，∠ = 60°， = 14 ，点 在扇形 内部， ⊥ ，
∠ = ∠ ，则阴影部分的面积为______ 2．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = ( 2 6 + 8) + ( 2) ( ∈ )．
(1)若复数 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若复数 在复平面内对应点位于第二象限，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知向量 ， ，若| | = 1，| | = 2， 与 的夹角为 60°．
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(1)求| + 2 |；
(2)当 为何值时，向量 与向量 + 3 互相垂直？
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, < < 0) 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2，且直线 = 8
是其图象的一条对称轴．
(1)求 ， 的值；
(2)在图中画出函数 = ( )在区间[0, ]上的图象；
(3)将函数 = ( ) 1 的图象上各点的横坐标缩短为原来的2 (纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移16个单位，
得到 = ( )的图象，求 ( )单调减区间．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 =

+ ．
(1)求角 ；
(2)若△ 为锐角三角形， = 2， 是线段 的中点，求 的长的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 3cos2 32 ．
(1)求 ( )图象的对称中心、对称轴， ( )的单调递增区间；
(2) ∈ [0, 当 2 ]时，求 ( )的最值；
(3) 5 1 当 ∈ [ 6 , 6 ]时，关于 的不等式 ( 2 6 ) ( + 12 ) ≥ 2 有解，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0
13. 59
14.983 42 3
15.解：(1)若复数 为纯虚数，则 2 6 + 8 = 0 且 2 ≠ 0，解得 = 4；
(2)因为复数 在复平面内对应的点在第二象限，
2
所以 6 + 8 < 0 2 < < 4，解得 > 2 ，可得 2 < < 4． 2 > 0
所以实数 的取值范围为(2,4)．
2
16. 2解：(1)由已知可得， = | |2 = 1， = | |2 = 4， = | || | 60° = 1 × 2 × 12 = 1，
2
所以| + 2 |2 = ( + 2 )2 = 2 + 4 + 4 = 1 + 4 + 4 × 4 = 21，
所以| + 2 | = 21；
(2)由已知可得( ) ( + 3 ) = 0，
2
即 2 + (3 1) 3 = 0，
所以有 + 3 1 12 = 0 13，解得 = 4．
17.解：(1) ∵ ( ) 相邻两条对称轴之间的距离为2，
∴ ( )的最小正周期 = ．
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∴ = 2，
∵ = 直线 8是函数 = ( )的图象的一条对称轴，
∴ sin(2 × 8 + ) =± 1．
∴ 4 + = +

2， ∈ ．
∵ < < 0，
∴ = 3 4．
(2) = sin(2 3 由 4 )知：

0 3 5 7 8 8 8 8
2 2 1 0 1 0 22
故函数 = ( )在区间[0, ]上的图象如图：
(3)将函数 ( ) = sin(2 3 ) 14 的图象上各点的横坐标缩短为原来的2 (纵坐标不变)，得到 = sin(4
3
4 )，
3
再把得到的图象向左平移16个单位，得到 ( ) = sin[4( + 16 ) 4 ] = 4 ，
令 2 + ≤ 4 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，
∴函数 = ( ) 的单调减区间为[ 2 + 4 , 2 + 2 ]， ∈ ．
18. (1) △ = 解： 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 + ．

由正弦定理得 = + ，
所以 2 + 2 2 = ，
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2
= +
2 2 1
由余弦定理得 2 = 2 = 2，
又 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
(2) △ 为锐角三角形， = 2， 是线段 的中点，
因为 2 + 2 2 = ，所以 2 + 2 = + 4．
= 1又 ( + 2 )，
2
所以 = [ 1 ( 2
+ )]2 = 14 (
2 + 2 + ) = 1 + 12 ，
2 4 3 4 3 4 3
由正弦定理得 = = = sin = 3 ，所以 = 3 ， = 3 ，3
= 4 3 4 3 = 16所以 3 3 3 ( +

3 ) =
8 4
3 sin(2 6 ) + 3，
0 < <
又△ 2 5 为锐角三角形，所以
0 < 2
，解得6 < < 2，所以6 < 2 6 < 6，
3 < 2
2
所以 ∈ ( 8 73 , 4]，所以
∈ ( 3 , 3],
21 21
所以 ∈ ( 3 , 3]，即 的长的取值范围是( 3 , 3]．
19.
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