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2025年山东省泰安市东平县九年级中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是（　　）
A． B．5 C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
4．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
7．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
9．已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
10．已知一列数，，……中，，且（n为正整数，且），则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则 ．

13．如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是 ．

14．如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作弧、、．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ．
15．定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ．
三、解答题
16．（1）先化简再求值：，其从，2，，3中选一个合适的数代入求值．
（2）解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
17．综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下：
研究课题 角平分线的性质与判定 配图
材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”
任务1： 整理思路 已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，以为边作等边，求证：是的平分线．请在横线上填写下面思路的依据： 思路：…… ∴（全等判定依据，用字母表示为______）， ∴（得此步结论的依据为______）， ∴是的平分线．
任务2： 迁移应用 已知，将的两顶点C，D放置于和上，连接交于点P，若，求证：是的平分线．
任务3： 拓展探究 已知四边形，连接对角线，交于点P，当平分且将分成面积比为的两部分时，直接写出的值．
18．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
19．某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°；
(2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；
(3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）
20．臂架泵车（如图）是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆，集混凝土泵送、臂架伸展和移动功能于一体，广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景．图2是其输送原理平面图，进料口到建筑楼的水平距离为米，到地面的垂直距离为米，，，，为输送臂，可绕，，，旋转，已知输送臂垂直地面且米，米，米，，．
(1)的长约为________；（直接写出答案）
(2)求出料口到地面的距离．
（参考数据：，，，）
21．如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若．求和的长．
22．在中，，将绕点A旋转得到，连接对应点，．
(1)如图1，求证：．
(2)当经过的中点F时．
①如图2，若，求线段的长；
②如图3，延长交于点G，当时，判断线段，的数量关系，并说明理由．
23．二次函数（，，为实数）．
(1)当，时，探究发现二次函数的顶点恰好在直线上．
直接写出的值为________________；
若二次函数与直线有两个交点，设两个交点分别为，，请证明；若二次函数与直线没有两个交点，请说明理由．
(2)若，直线与二次函数相交于和两点，其中．
求的值；
当时，求二次函数的最大值．
《2025年山东省泰安市东平县九年级中考二模数学试题 》参考答案
1．A
解：根据绝对值的定义，
，
根据相反数的定义，
5的相反数是．
故选：A．
2．D
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
3．C
解：数字0.00000156用科学记数法表示为，
故选：C．
4．D
解：
，
故选：D．
5．C
解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意．
故选：C．
6．B
解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范围为且，
故选：．
7．D
解：∵一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板，
∴从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是：，
故选：D．
8．C
解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得，
，
即，
∵为正整数，
∴
则，
故有7种方案，
故选：C．
9．B
解：如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，

∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，而，
∴为等边三角形，
∴，
∴多边形的边数为：，
故选B
10．D
解：，
，
由题意得，则，
解得：，
，则，
解得：，
∴可得，
∴，
故选：D．
11．
解：，
故答案为：．
12．/100度
解：如图，根据直角三角板的性质，得到，，
∵，
∴，
．

故答案为：．
13．
解：把代入，可得，解得，
反比例函数解析式，
如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，

，
，
，
，
将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，
,
在中，，
，
即点C的横坐标为，
把代入，可得，
，
故答案为：．
14．
解：是等边三角形，
，，
则，
“莱洛三角形”的周长为，
，
解得：，
如下图所示，过点作于点D，
则有，
，
，
则弓形的面积为，
“莱洛三角形”的面积为．
故答案为：．
15．或19/19或
解：当时，
，
∴，
当时，
，
解得（舍去）或．
综上所述，x的值为或19．
故答案为：或19．
16．（1），当时，原式，当时，原式；（2），数轴表示见解析．
解：（1）
当或时，原分式无意义，
或3，
当时，原式，
当时，原式．
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下：
．
17．任务1：；全等三角形的对应角相等；任务2：见解析；任务3：或2
解：任务1：思路：由作图可知，，，，
∴（），
∴（全等三角形的对应角相等），
∴是的平分线．
任务2：过点作，交于，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴是的平分线．
任务3：如图，过点作，则，，
∵平分，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
又∵，，
∴，
当平分且将分成面积比为的两部分时，或2，
∴或2．
18．(1)；
(2)；
(3)点．
（1）解：将代入得，
，
将代入得，解得，
反比例函数表达式为，
（2）解：如图，设点，那么点，

由可得，
所以，
解得（舍），
;
（3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
，
点绕点顺时针旋转，
，
，
，
，
设点，
点，
，
解得，
点或（舍），此时点．
19．(1)补全条形统计图见解析，54
(2)640人
(3)甲
（1）解：总人数：（人），
D组人数：；如图：
A所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：54；
（2）解：去海洋馆：（人）
答：该校约有640名学生想去海洋馆；
（3）解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，
∴甲班10名学生的成绩的平均数：，
甲班10名学生的成绩的众数：90；
甲班10名学生的成绩的中位数：，
∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．
∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，
∴甲班的竞赛成绩更好．
故答案为：甲．
20．(1)；
(2)米
（1）解：如下图所示，过点作，
，，
，，
，
(米)，
故答案为：米；
（2）解：如下图所示，过点作，垂足为，
在中，
米，
米，
米，
，
在和中，
，
，
到地面的距离为（米），
到地面的距离为米．
21．(1)见详解
(2)
（1）证明：正方形内接于，
∴
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵点E为中点，
∴.
∵四边形为正方形，
∴，
根据勾股定理，得，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
由（1）得，
∴.
22．(1)详见解析
(2)①；②，详见解析
（1）证明：∵将绕点A旋转得到，
∴，，．
∴，．
∴．
（2）解：①∵，，，
∴．
∵点F是的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∴．
②
设．
∵，，
∴，，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
由①知，．
∴．
∵，
∴．
23．(1)；②有两个交点，证明见解析；
(2)的值为；
当且时最大值为；
当时，最大值为；
当时，最大值为．
（1）解：当，时，
二次函数的解析式为，
当时，，
二次函数的顶点坐标为，
又二次函数的顶点恰好在直线上，
，
解得：，
故答案为：；
将带入，
可得：，
又，
可得：，
整理得：，
，
二次函数与恒有两个交点，
；，
，
；
（2）解：在二次函数和上，
，，
可得：，
解得：或，
，
，
；
由知，
二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴，
当时，二次函数开口向上，
如下图所示：
对称轴，
在时，随的增大而增大，
在时，取最大值为；
当时，二次函数开口向下，
当对称轴时，
解得：，
，
如下图所示：
此时二次函数在上的图象，随的增大而增大，
在时，取得最大值为；
当时，
解得：，
如下图所示：
此时二次函数在上的图象，当时取得最大值
当对称轴时，
解得：，
如下图所示：
此时二次函数在上的图象，随的增大而减小，
当时，y取最大值为．
综上所述：当且时最大值为；当时，最大值为，当时，最大值为．

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