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2025年中考数学5月模拟押题卷（湖南卷）01
(考试时量：120分钟，满分：120分)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果向东走10 m记作＋10 m，那么向西走8 m记作（C）
A．－10 m B．＋10 m C．－8 m D．＋8 m
2．祖国江山美丽如画，湘西风光多姿多彩．据湘西相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1 665 000人次．将1 665 000用科学记数法表示应为（B）
A．0.166 5×107 B．1.665×106 C．16.65×105 D．166.5×104
3．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（B）
A. B. C. D.
4．下列计算中正确的是（D）
A. a2＋a3＝2a5 B. a2·a3＝a6 C. 3＝a5 D. a(a＋1)＝a2＋a
5．计算× 的结果为（C）
A. B．17 C．5 D.
6．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中是假命题的是（A）
A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
7.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连接BD，CD.若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（B）
A．28° B．34° C．56° D. 62°
8．6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（C）
A．5，4 B．6，5 C．6，7 D．7，7
如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC为对角线，∠BAC的平分线交BC于点E，连接DE交AC于点F.则下列结论中错误的是（C）
A．∠BCA＝30° B．EC＝ C．S△ADE＝ D．DF＝
10．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“大爱于心”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“致真于行”方程，如果一个一元二次方程既是“大爱于心”方程又是“致真于行”方程，则下列结论中正确的是（B）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程两根之和等于0
C．方程有一根等于0 D．方程两根之积等于0
【解析】∵把x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝0得出a＋b＋c＝0，把x＝－1代入方程ax2＋bx＋c＝0得出a－b＋c＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根x＝1或x＝－1，∴1＋(－1)＝0.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．计算：－(－5)－22＋－(－1)2 025＝6.
12．某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮30 s，黄灯亮5 s，红灯亮25 s循环显示，小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是0.5 .
13．分式方程＋1＝的解为x＝3.
14．若一个等腰三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，则三角形的周长是15cm.
15．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不等的实数根，则m的值可以是－1(答案不唯一)．(写一个即可)
16．一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是3.
　　　　　
17.如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，分别以点A，点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数为30°.
18.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为60.
【解析】过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，根据等边对等角结合平行线的性质，推出∠ABC＝∠CBF，进而得到CM＝CN，得到S△CBF＝S△ACE，进而得到S四边形EBFC＝S△ABC，过点A作AG⊥BC，易得AG＝12，再利用面积公式求出△ABC的面积即可．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)计算：2sin 30°＋＋|－5|－(π＋3)0.
解：原式＝2×＋2＋5－1
＝2＋5.
20．(6分)先化简，再求值：÷，其中x＝－2.
解：原式＝÷＝·＝，
当x＝－2时，原式＝＝－2.
21．(8分)某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩(单位：分)进行收集、整理、描述和分析(测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x<70，C：70≤x<80，B：80≤x<90，A：90≤x≤100)，部分信息如下：
学生成绩在B等级的数据：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求所抽取的学生成绩为C等级的人数；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
解：(1)总人数为12÷40%＝30(人)，
∴抽取的学生成绩为C等级的人数为30－1－12－10＝7(人)．
(2)总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，
∵D中1人，C中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，
∴中位数为÷2＝85.
(3)成绩为A等级的人数为360×＝120(人)．答：成绩为A等级的为120人．
22．(8分)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 AE＝CF(答案不唯一)；
(2)添加了条件后，求证：四边形AECF为平行四边形．
(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
23．(9分)某经销店调查发现：某吉祥物A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5 000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
解：(1)设A，B两款纪念品的进货单价分别为x元，y元．则解得
答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元．
(2)设购买m件B种纪念品，则购买(70－m)件A种纪念品，根据题意，得
60m＋80(70－m)≤5 000，解得m≥30.
答：至少应购买B款纪念品30个．
24．(9分)永昌钟鼓楼整个建筑结构严谨、雄伟壮观，是河西走廊重要的古建筑之一．某校学生开展测量鼓楼高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如表：
活动课题 测量鼓楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具
方案 示意图 　
测量步骤 (1)利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； (2)前进了14 m到达A处(点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计)，在A处测得P点的仰角为56°
测量数据 ∠PBO＝39°，∠PAO＝56°，AB＝14 m
参考数据 sin 39°≈0.6，cos 39°≈0.8，tan 39°≈0.8，sin 56°≈0.8，cos 56°≈0.6，tan 56°≈1.5
根据上表中的测量方案及其数据，计算鼓楼OP的高度(结果保留整数)．
解：设OA＝x，则OB＝OA＋AB＝x＋14，
在Rt△AOP中，∠OAP＝56°，∴OP＝AO·tan 56°≈1.5x，
在Rt△BOP中，∠PBO＝39°，∴OP＝OB·tan 39°≈0.8(x＋14)，
∴1.5x＝0.8(x＋14)，解得x＝16，∴OP＝1.5x＝24 m.
答：鼓楼的高度约为24 m.
25．(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标；
(3)如图②，连接AC，PC，AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F.记△ACG，△PCG，△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当 ＋ 取得最大值时，求sin∠BCP的值．
解：(1)抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，
设P(m，－m2＋2m＋3)，则E(m，－m＋3)，
D(m，0)，∴PD＝－m2＋2m＋3，
DE＝－m＋3，
∴PE＝PD－DE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，
∵PE＝2ED，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，解得m1＝2，m2＝3(舍去)，
∴P(2，3)．
∵PF∥AC，∴△ACG∽△PFG，∴＝＝，
∴＝＝，＝＝，
∴＋＝，作AN∥BC交y轴于点N，作PQ∥y轴交BC于点Q，
∵直线BC的解析式为y＝－x＋3，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y＝－x－1，
当x＝0时，yN＝－1，∴N(0，－1)，∴ON＝1，CN＝ON＋CO＝4，
∵AN∥BC，PQ∥y轴，∴∠PQF＝∠NCB＝∠ANC，∠PFC＝∠ACF，
∵∠PFC＝∠FPQ＋∠PQF，∠ACF＝∠NCB＋∠ACN，∴∠FPQ＝∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，∴＝，设P(n，－n2＋2n＋3)，则
Q(n，－n＋3)，∴PQ＝－n2＋3n，
∴＋＝＝＝＝－＋，
∴当n＝时，＋有最大值，此时P，Q，
∴PQ＝，CQ＝，
∵ON＝OA＝1，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠ANC＝45°＝∠PQF，
∵BC＝3，AB＝4，∴＝＝，＝＝，
∴＝，∴△CPQ∽△ACB，∴∠BCP＝∠CAB，
∵AC＝，∴sin∠BCP＝sin∠CAB＝＝＝.
26．(10分)【感知】如图①，⊙O为等边三角形ABC的外接圆．AD为⊙O的直径，线段AD与BC交于点E，探究线段AE，BD，DE的数量关系．
小明同学的做法：过点C作BD的垂线交BD延长线于点F，连接CD.易证AD⊥BC.进而得出△BCF≌△ACE，△CDE≌△CDF.则线段AE，BD，DE的数量关系是BD＋DE＝AE；
【探究】如图②，等腰三角形ABC中．AC＝BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为弧BC上一点，CE⊥AD于点E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC.点D在⊙O上，且点D与点C位于线段AB两侧，过点C作线段AD的垂线，交线段AD于点E，若点E为AD的三等分点，则的值为.
解：【探究】成立，证明：过点C作BD的垂线交BD延长线于点G，连接CD，
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠CED＝∠G＝90°，
∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD，∴△BCG≌△ACE(AAS)，∴AE＝BG，CE＝CG，
∵CD＝CD，∴Rt△CDE≌Rt△CDG(HL)，∴DE＝DG，
∴BD＋DE＝BD＋DG＝BG＝AE.
【应用】过点C作DB的垂线交DB延长线于点H，
∵AB是直径，CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠CED＝∠D＝∠H＝90°，∴四边形CEDH是矩形，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠CAD＋∠CBD＝180°，
∵∠CBH＋∠CBD＝180°，∴∠CBH＝∠CAD，
∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCH(AAS)，
∴CE＝CH，BH＝AE，∴四边形CEDH是正方形，∴DH＝DE＝CH，
∵点E为AD的三等分点，点D与点C位于线段AB两侧，∴AD＝3AE，
设BH＝AE＝x，则DH＝DE＝CH＝2x，
∴BD＝x，BC＝＝x，
∴＝＝.
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2025年中考数学5月模拟押题卷（湖南卷）01
(考试时量：120分钟，满分：120分)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果向东走10 m记作＋10 m，那么向西走8 m记作（C）
A．－10 m B．＋10 m C．－8 m D．＋8 m
2．祖国江山美丽如画，湘西风光多姿多彩．据湘西相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1 665 000人次．将1 665 000用科学记数法表示应为（B）
A．0.166 5×107 B．1.665×106 C．16.65×105 D．166.5×104
3．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（B）
A. B. C. D.
4．下列计算中正确的是（D）
A. a2＋a3＝2a5 B. a2·a3＝a6 C. 3＝a5 D. a(a＋1)＝a2＋a
5．计算× 的结果为（C）
A. B．17 C．5 D.
6．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中是假命题的是（A）
A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
7.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连接BD，CD.若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（B）
A．28° B．34° C．56° D. 62°
8．6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（C）
A．5，4 B．6，5 C．6，7 D．7，7
如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC为对角线，∠BAC的平分线交BC于点E，连接DE交AC于点F.则下列结论中错误的是（C）
A．∠BCA＝30° B．EC＝ C．S△ADE＝ D．DF＝
10．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“大爱于心”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“致真于行”方程，如果一个一元二次方程既是“大爱于心”方程又是“致真于行”方程，则下列结论中正确的是（B）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程两根之和等于0
C．方程有一根等于0 D．方程两根之积等于0
【解析】∵把x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝0得出a＋b＋c＝0，把x＝－1代入方程ax2＋bx＋c＝0得出a－b＋c＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根x＝1或x＝－1，∴1＋(－1)＝0.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．计算：－(－5)－22＋－(－1)2 025＝6.
12．某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮30 s，黄灯亮5 s，红灯亮25 s循环显示，小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是0.5 .
13．分式方程＋1＝的解为x＝3.
14．若一个等腰三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，则三角形的周长是15cm.
15．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不等的实数根，则m的值可以是－1(答案不唯一)．(写一个即可)
16．一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是3.
　　　　　
17.如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，分别以点A，点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数为30°.
18.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为60.
【解析】过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，根据等边对等角结合平行线的性质，推出∠ABC＝∠CBF，进而得到CM＝CN，得到S△CBF＝S△ACE，进而得到S四边形EBFC＝S△ABC，过点A作AG⊥BC，易得AG＝12，再利用面积公式求出△ABC的面积即可．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)计算：2sin 30°＋＋|－5|－(π＋3)0.
解：原式＝2×＋2＋5－1
＝2＋5.
20．(6分)先化简，再求值：÷，其中x＝－2.
解：原式＝÷＝·＝，
当x＝－2时，原式＝＝－2.
21．(8分)某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩(单位：分)进行收集、整理、描述和分析(测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x<70，C：70≤x<80，B：80≤x<90，A：90≤x≤100)，部分信息如下：
学生成绩在B等级的数据：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求所抽取的学生成绩为C等级的人数；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
解：(1)总人数为12÷40%＝30(人)，
∴抽取的学生成绩为C等级的人数为30－1－12－10＝7(人)．
(2)总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，
∵D中1人，C中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，
∴中位数为÷2＝85.
(3)成绩为A等级的人数为360×＝120(人)．答：成绩为A等级的为120人．
22．(8分)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 AE＝CF(答案不唯一)；
(2)添加了条件后，求证：四边形AECF为平行四边形．
(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
23．(9分)某经销店调查发现：某吉祥物A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5 000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
解：(1)设A，B两款纪念品的进货单价分别为x元，y元．则解得
答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元．
(2)设购买m件B种纪念品，则购买(70－m)件A种纪念品，根据题意，得
60m＋80(70－m)≤5 000，解得m≥30.
答：至少应购买B款纪念品30个．
24．(9分)永昌钟鼓楼整个建筑结构严谨、雄伟壮观，是河西走廊重要的古建筑之一．某校学生开展测量鼓楼高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如表：
活动课题 测量鼓楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具
方案 示意图 　
测量步骤 (1)利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； (2)前进了14 m到达A处(点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计)，在A处测得P点的仰角为56°
测量数据 ∠PBO＝39°，∠PAO＝56°，AB＝14 m
参考数据 sin 39°≈0.6，cos 39°≈0.8，tan 39°≈0.8，sin 56°≈0.8，cos 56°≈0.6，tan 56°≈1.5
根据上表中的测量方案及其数据，计算鼓楼OP的高度(结果保留整数)．
解：设OA＝x，则OB＝OA＋AB＝x＋14，
在Rt△AOP中，∠OAP＝56°，∴OP＝AO·tan 56°≈1.5x，
在Rt△BOP中，∠PBO＝39°，∴OP＝OB·tan 39°≈0.8(x＋14)，
∴1.5x＝0.8(x＋14)，解得x＝16，∴OP＝1.5x＝24 m.
答：鼓楼的高度约为24 m.
25．(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标；
(3)如图②，连接AC，PC，AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F.记△ACG，△PCG，△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当 ＋ 取得最大值时，求sin∠BCP的值．
解：(1)抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，
设P(m，－m2＋2m＋3)，则E(m，－m＋3)，
D(m，0)，∴PD＝－m2＋2m＋3，
DE＝－m＋3，
∴PE＝PD－DE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，
∵PE＝2ED，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，解得m1＝2，m2＝3(舍去)，
∴P(2，3)．
∵PF∥AC，∴△ACG∽△PFG，∴＝＝，
∴＝＝，＝＝，
∴＋＝，作AN∥BC交y轴于点N，作PQ∥y轴交BC于点Q，
∵直线BC的解析式为y＝－x＋3，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y＝－x－1，
当x＝0时，yN＝－1，∴N(0，－1)，∴ON＝1，CN＝ON＋CO＝4，
∵AN∥BC，PQ∥y轴，∴∠PQF＝∠NCB＝∠ANC，∠PFC＝∠ACF，
∵∠PFC＝∠FPQ＋∠PQF，∠ACF＝∠NCB＋∠ACN，∴∠FPQ＝∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，∴＝，设P(n，－n2＋2n＋3)，则
Q(n，－n＋3)，∴PQ＝－n2＋3n，
∴＋＝＝＝＝－＋，
∴当n＝时，＋有最大值，此时P，Q，
∴PQ＝，CQ＝，
∵ON＝OA＝1，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠ANC＝45°＝∠PQF，
∵BC＝3，AB＝4，∴＝＝，＝＝，
∴＝，∴△CPQ∽△ACB，∴∠BCP＝∠CAB，
∵AC＝，∴sin∠BCP＝sin∠CAB＝＝＝.
26．(10分)【感知】如图①，⊙O为等边三角形ABC的外接圆．AD为⊙O的直径，线段AD与BC交于点E，探究线段AE，BD，DE的数量关系．
小明同学的做法：过点C作BD的垂线交BD延长线于点F，连接CD.易证AD⊥BC.进而得出△BCF≌△ACE，△CDE≌△CDF.则线段AE，BD，DE的数量关系是BD＋DE＝AE；
【探究】如图②，等腰三角形ABC中．AC＝BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为弧BC上一点，CE⊥AD于点E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC.点D在⊙O上，且点D与点C位于线段AB两侧，过点C作线段AD的垂线，交线段AD于点E，若点E为AD的三等分点，则的值为.
解：【探究】成立，证明：过点C作BD的垂线交BD延长线于点G，连接CD，
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠CED＝∠G＝90°，
∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD，∴△BCG≌△ACE(AAS)，∴AE＝BG，CE＝CG，
∵CD＝CD，∴Rt△CDE≌Rt△CDG(HL)，∴DE＝DG，
∴BD＋DE＝BD＋DG＝BG＝AE.
【应用】过点C作DB的垂线交DB延长线于点H，
∵AB是直径，CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠CED＝∠D＝∠H＝90°，∴四边形CEDH是矩形，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠CAD＋∠CBD＝180°，
∵∠CBH＋∠CBD＝180°，∴∠CBH＝∠CAD，
∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCH(AAS)，
∴CE＝CH，BH＝AE，∴四边形CEDH是正方形，∴DH＝DE＝CH，
∵点E为AD的三等分点，点D与点C位于线段AB两侧，∴AD＝3AE，
设BH＝AE＝x，则DH＝DE＝CH＝2x，
∴BD＝x，BC＝＝x，
∴＝＝.
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