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安徽师范大学附属中学2024年高中自主招生考试
二、填空题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）
数学试题
7.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则snA的值为一-
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，每小题只有一个选项正确）
1.若不等式x一1+x+3≤a有解，则a的取值范围是()
A.0B.a≥4
C.0D.a22
2.在平面直角坐标系中，已知A(-1,0)、B(4,0),点C为直线y=-2x+2上的点，且满足△ABC
B■I
(第7题)
(第8题)
(第12题)
为等腰三角形，满足条件的点C共有()
8.如图，在锐角三角形ABC中，AB=8,△ABC的面积为4O,BD平分∠ABC,若MN分
A6个
B.3个
C.4个
D.5个
别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为一一-·
3.已知1-n=4,m+t2+4=0,则m+n=()
9.已知y≠1，且有5x2+2024x+9=0,9y2+2024y+5=0,则的值等于
A.4
B.2
C.0
D.-2
10.已知点M(0,2),N(-3,6)到直线L的距离分别为1,4，满足条件的直线L的条数
4.已知Va+4+√a-1=5,则V6-2√a=()
是；3
A.5-1
B.5+1
c.5-1
D.2a
5.已知△ABC的三边的长分别为a、b、c,且+=，b+C,则△4BC一定是（)
11.函数y=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值为
b c b+c-a
A.等边三角形
B.腰长为a的等腰三角形
12.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，I、I,分别是△ADC、△BDC的内心，若
C.底边长为a的等腰三角形
D.非等腰三角形
6.如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点A和BC相切于点D,和AB、AC分别交于点E、F,
AC=3,BC=4,则IH2=
若BD=AE,且BE=,CF=b,则AF的长为()
13.若x,X2,X3,x4,X,为互不相等的正偶数，满足
A.+
B.+V5
2
-a
l29。c.1+5
D.1+56
(2024-x2024-x22024-x32024-x2024-x)=242,
则+号+++的末位数字是
0
D
第6题图
14如图，P为Rt△ABC内一点，其中∠BAC=90°，并且PA=3,
17.(本小题满分8分)若直线1：y=x+3交x轴于点A,交y轴于点B.坐标原点O关于直线
PB=7,PC=9,则BC的最大值为
1的对称点O在反比例函数y=二的图象上
k
(1)求反比例函数y=二的解析式：
15.在平面直角坐标系中，有一抛物线y=2x2-4m+2m2+m+1,其中m为实数，和一个
(2)将直线1绕点A逆时针旋转角0(0°<0<45)，得到直线'，1交y轴于点P,过点P作
以C。,2为圆心，2为半径的圆，则⊙C中所有不在该抛物线上的点所形成图形的面积为
x轴的平行线，与上述反比例函数y=华的图象交于点Q,当四边形4PQ0的面积为9-3W5
2
三、解答题（本大题共7小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
时，求日的值
16.(本小题满分7分)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、
C重合)，连结DE,点C关于DE的对称点为C,连结AC并延长交DE的延长线于点M,F
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2x-t2+3t.当x∈[t,+0)时，记f(x)的最小
是AC1的中点，连结DF.
【猜想】如图①，∠FDM的大小为度.
值为q()
【探究】如图②，过点A作AM∥DF交MD的延长线于点M,连结BM.
求证：△ABM≌△ADM.
(1)求q()的表达式：
【拓展】如图③，连结AC,若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值
为
(2)是否存在1<0，使得9()=q(白？若存在，求出t:若不存在，请说明理由。
19.(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足
∠ECD=∠ACB,AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F.证明：∠DFE=∠AFB.
D
D
图①
图②
图③
2安徽师范大学附属中学2024年高中自主招生考试
.△ABM≌△ADM(SAS).
4分
数学参考答案
【拓展】2√2-2.
7分
一、选择题
18.解：(1)由题设，A(-3,0),B(0,3),显然△4OB为等腰直角三角形，
1
2
5
6
又坐标原点O关于直线1的对称点O,则四边形OAOB为正方形
B
D
C
B
二、填空题
易知：033到在)y在上，则k=-9,放y=}
3分
7.5:
8.10:
99
10.3
11.-1:
12.V5
13.4
14.1415.2π
三、解答题
16.【猜想】45°.
1分
【探究】证明：在正方形ABCD中，
AD=AB,∠BAD=90°，
C、C1关于DE对称，
.'.DC=DC=AD,
F是AC的中点，
2)令y=x+3且r>i,则P0,3放。号=}
:.DFLAC,
又AM∥DF,
所以SAPOd=S4o3d+Soae-S4op,由(1)知：SAo8o=3×3=9,
,AM⊥AM,
8w--》
Se3x3=,
∴.∠DAM,=∠BAM
∴.∠M=∠FDM=∠FMD=45
所以89叶引-》=9-9-35可得1=5。
.AM=AM
所以r03),即1oP35,Q4F3,故AP卡6，则sin PA0=oP=5
【解答】(1)由ax2+bx+c=ar+c,得x=0,名=a-b,
由抛物线y=ax2+br+c与直线y=ar+c至多有一个公共点，得a=b。
在直角△PAO中∠PAO=60°，则6=PAO-BAO=15°
8分
由ar2+bx+c=cxr+a,及a=b,得ar2+(a-c)x+c-a=0。
因为抛物线y=ax2+br+c与直线y=cx+a至多有一个公共点，
18解：(1)f(x)=x2-2x-t2+3t=(x-1)2-t2+3t-1.
所以△=(a-c)2-4a(c-a)s0,即5a2-6ac+c2≤0。
①当t≥1时，f(x)在x∈[t,+w)时为增函数，所以f(x)在x∈[t,+w)时的最小值为
结合a>0,得(S2-6S)+5≤0，解得1≤￡≤5。
q)=f(0=t:
又抛物线y=ar2+ar+5a与直线y=ar+5a,y=5ar+a中的每一条都至多一个公共点。
②当t<1时，g(t)=f0)=-t2+3t-1:
所以二的最大值为5。
「t(t21)
6分
综上所述，g0=-r+31-1<)
6分
(2)当二取最大值时，抛物线为y=ar2+ax+5a,其顶点C(2'a)。
(2)由(1)知，当t<0时，q(0=-12+3t-1,所以当t<0时，
由m2+m+5-头，得=片5，无=5.
4
由g0=q白得：
-+31-1=+1,即产-3+31-1=0，整理得
于是AB=25,CA=CB。
t
设I为△ABC的内心，D为线段AB中点，则CD⊥AB,D⊥AB
(-r-31+)=0,解得：t=1或1=3±5
且ID=1,DB=V3。
2
所以∠DB1=30°，∠ABC=60°，△ABC为等边三角形。
又因为1<0，所以1=-1.即存在1=-1，使得q()=q(白)成立，
12分
所以CD=0=3.因此-a=知=3，a=1
19.证明由ABCD是平行四边形及已知条件知∠ECD=∠ACB=∠DAF.
又A、B、F、D四点共圆，所以∠BDC=∠ABD=∠AFD,
12分
所以△ECD∽△DAF,
21.解：令m+6m+11r+3n+31=A,则A=(n+31+1-3-10).
所以ED=CDAB
DE AFAF
.6分
在n=10时，A是平方数.
3分
又∠EDF=∠BDF=∠BAF,所以△EDF∽△BAF,
在n>10时，因为(2+3n+1）-(2+32=2r2+6m+1>3-10),
故∠DFE=∠AFB.
.12分
所以(r2+3<(r2+3+1-3(m-10)<6m2+3+1)
20
A在两个相邻平方数之间，A不是平方数.
7分

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