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2024-2025学年上海市通河中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆的半径为，圆的半径为，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是( )
A. B. C. D.
2.已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值( )
A. B. C. D.
3.已知数列是等差数列，其前项和为，若，，则数列中最小的项是( )
A. B. C. D.
4.在空间中，点为定点，设集合，则以下说法正确的是( )
若在上的数量投影为，则线段在运动过程中所形成的几何体体积为；
对于任意的以及任意的正实数，设，若，则．
A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题
C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.已知抛物线的准线为，则其标准方程为______．
6.在空间直角坐标系中一点关于坐标平面的对称点的坐标为______．
7.双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为______．
8.直线的倾斜角为______．
9.如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 ______用表示．
10.经过点且与直线平行的直线方程是______．
11.已用，，则在方向上的投影向量为______．
12.已知实数，，成等差数列，则直线必过定点______．
13.在各项均为正数的等比数列中，前项和为，满足，那么的取值范围是______．
14.已知椭圆，过左焦点作直线与圆相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为______．
15.已知实数、、、满足：，，，则的最大值为 ．
16.已知数列，，，，并且前项的和满足：
存在小于的正整数，使得；
对任意的正整数和，都有．
则满足以上条件的数列共有______个
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．
求证：平面；
若底面为梯形，，，，异面直线与所成角为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
年月日时分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与．
写出图中“果圆”的方程；
直线交该“果圆”于、两点，求弦的长度精确到．
19.本小题分
已知是公差的等差数列，其前项和为，是公比为实数的等比数列，，．
求和的通项公式；
设，计算．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且．
求证：；
当为钝角时，求实数的取值范围；
若二面角的大小为，求点到平面的距离．
21.本小题分
已知双曲线的图像经过点，点、分别是双曲线的左顶点和右焦点设过的直线交的右支于、两点，其中点在第一象限．
求双曲线的标准方程；
若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值；
是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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17.证明：取的中点，连接，
因为是的中点，所以，，
又是的中点，所以，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：由四棱柱的性质知，，
所以与所成的角就是异面直线与所成角，即，也即，
因为平面，，平面，
所以，，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与．
可得椭圆的，，则，
所以椭圆方程为：；
设圆的圆心坐标为，可得，可得．
所以圆的半径为：，所求圆的方程为：．
由，可得，
由，解得
所以．
19.解：设等差数列的首项为，又，
，解得，则．
又，且，
，解得，则；
由，得，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
．
20.解：证明：以点为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向建立坐标系，
则，，，，
因为
所以；
因为，
从而，
所以，
，
当为钝角时，，
化简得，
所以，
显然不平行，
所以；
因为，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则，
则
又平面的一个法向量为
则有．
解得，
又由已知，所以，
所以，
，
由，
所以点到平面的距离为．
21.
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