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2024-2025学年山东省淄博四中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.如图，一个水平放置的三棱柱形容器中盛有水，则有水部分呈现的几何体是( )
A. 四棱台
B. 四棱锥
C. 四棱柱
D. 三棱柱
3.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则( )
A. B.
C. D.
5.下列说法正确的是( )
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
6.灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为( )
A. B.
C. D.
7.函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的单调增区间为
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数在上有个零点，则实数的取值范围为
8.中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是( )
A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的值为的是( )
A. B.
C. D.
10.已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则；反之，若，则
C. ，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为
D. ，角的平分线交边于，且，则的最小值为
11.如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为，则下列选项中正确的是( )
A. 该几何体的高为
B. 该几何体的表面积为
C. 该几何体的体积为
D. 一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则 ．
13.如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为的菱形，且，则原平面图形的面积为______．
14.在中，，，的外接圆为圆，为圆上的点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，为虚数单位．
若为纯虚数，求实数的值；
若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围．
17.本小题分
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为．
计算该模型的体积．
现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，的面积为，求的周长．
若为锐角三角形，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若为锐角，，求的值；
在中，若，，是的中点，且，求的面积；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：由复数，，
得，
复数为纯虚数，，解得；
由，
得，
在复平面内所对应的点位于第四象限，，解得．
实数的取值范围为．
16.解：若，则，
，
，，
，，，
，
；
向量与的夹角为锐角，则，
，，
，又，
，，
又当与的夹角为不符题意，
，，
则的取值范围为
17.解：设圆锥的高为，已知圆锥母线为，
则，
模型的体积；
圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为．
，
又油漆费用为每平方米元，且有模型个，
总费用为元．
18.解：由，根据正弦定理得，
在中，，，所以，
结合为三角形的内角，可知，解得；
的面积为，
结合，，可得，解得．
由余弦定理得，可得．
所以的周长；
由得，所以，
可得．
根据为锐角三角形，可得，即，
由，可得，
所以，即的取值范围是．
19.解：因为，
即，
所以，
因为为锐角，所以，所以，
所以，
在中，，因为，所以，
所以，即，
因为是的中线，所以，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
，得，即，
而，
所以，
所以的面积．
不等式，即，
因为，所以，所以，
所以不等式等价于，
令，则，所以不等式等价于，
因为，，当且仅当，即或时，取“”，
所以，
故的范围为
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