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2024-2025学年上海市闵行三中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为正整数，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论：
在区间上严格增；
的图像在处的切线斜率等于；
在处取得极大值；
在处取得极小值．
正确的个数是个．
A. B. C. D.
3.某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等名学生中选派名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为( )
A. B. C. D.
4.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，为自然对数的底数，有下列两个命题：
命题：和之间存在唯一的“隔离直线”；
命题：和之间存在“隔离直线”，且的最小值为．
则下列说法正确的是( )
A. 命题、命题都是真命题 B. 命题为真命题，命题为假命题
C. 命题为假命题，命题为真命题 D. 命题、命题都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.某人抛硬币次，其中次正面向上，则正面向上的经验概率为______．
6.已知事件与事件互斥，如果，，那么 ______．
7.已知函数，则 ______．
8.若在的展开式中的系数为，则 ______．
9.已知函数的导函数为，且满足关系式，则 ______．
10.已知的二项展开式中系数最大的项为______．
11.甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为，，已知两人的投中互为独立事件，则两人中至少有一个人投中的概率为______．
12.有编号分别为、、、的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，则恰有一个空盒子的放法数为______．
13.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为______．
14.甲、乙两人玩猜字游戏，先由甲在心中任想一个数，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，且、，若，则称甲、乙“心有灵犀”，现甲、乙玩此游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为______．
15.我们知道：，相当于从两个不同的角度考察组合数：从个不同的元素中选出个元素并成一组的选法种数是；对个元素中的某个元素，若必选，有种选法，若不选，有种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，试根据上述思想化简下列式子： ______．
16.若恒成立，求的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
现有名男生名女生站成一排，求：
女生都不相邻有多少种排法；
男生甲、乙、丙排序一定只考虑位置的前后顺序，有多少种排法；
男甲不在首位，男乙不在末位的概率．
18.本小题分
已知二项式的展开式中，第项的系数与倒数第项的系数之比为．
求所有项系数和与二项式系数和；
将展开式中所有项重新排列，求有理数不相邻的概率．
19.本小题分
已知函数为实数．
若在处有极值，求的单调递减区间；
若在上是增函数，求的取值范围．
20.本小题分
一盒子中有大小与质地均相同的个小球，其中白球个，其余为黑球．
当盒中的白球数时有放回地依次取出个球，求恰有一次取到黑球的概率．
当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件”第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件与是否独立．
某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取个球，若其中恰有个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量．
21.本小题分
已知函数，为常数．
函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；
若，，、使得成立，求满足上述条件的最大整数；
当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，，都有成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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5.
6.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.
16.
17.解：已知现有名男生名女生站成一排，
先排名男生，再在每个排列形成的个间隙中插入个女生，
所以女生都不相邻的排法种数为．
人的全排列种数为，其中男生甲、乙、丙的排列种数为，
而男生甲、乙、丙排序一定，即男生甲、乙、丙的排列只有种，
所以所求排列种数为．
人的全排列种数为，其中男甲在首位的排列种数为，男乙在末位的排列种数为，
男甲在首位且男乙在末位的排列种数为，
所以男甲不在首位，男乙不在末位的概率为．
18.解：二项式展开式的通项公式为：，，，，，，
由题意，，解得，
令，则所有项系数和为，二项式系数和为；
由知，二项式展开式的通项公式为，，，，，，
当，，，时，为有理项，
所以由插空法得有理项不相邻的概率为：．
19.解：的定义域为，
又，
所以，解得；
此时，，
因为，令，得，
所以的单调递减区间为；
依题意，且不恒为对恒成立，，即，
即，
在上单调递增，
的最大值为，
的最小值为，
，即
20.解：一盒子中有大小与质地均相同的个小球，其中白球个，其余为黑球，
有放回的抽取，每次抽取到白球的概率为，取到黑球的概率为，
由次独立重复试验知，恰有一次取到黑球的概率为．
当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，
用表示事件”第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，
当时，盒中有个白球，个黑球，
，，
，
，
则，所以事件与相互不独立．
从个球中取个球，恰有个白球的概率，
设，
当时，，
，
当时，，
当时，，
因此，
而，
则，，
所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小．
21.解：，
，，
函数的图象在点处的切线方程为，
直线与函数的图象相切，由 消去得，
则，解得或，
当时，
，
，
当时，，
在上单调递减，
，，
则，
，故满足条件的最大整数是．
不妨设，
函数在区间上是增函数，
，
函数图象的对称轴为，且，
函数在区间上是减函数，
，
等价于，
即，
等价于在区间上是增函数，
等价于在区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，
，又，
．
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