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2024-2025学年江苏省常州市溧阳中学、常州高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是实数，已知，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4.盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是( )
A. B. C. D.
5.在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且法向量为的平面的方程为已知在空间直角坐标系中，经过点的直线的方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B.
C. D.
7.已知动点是棱长为的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.对于任意正实数，，都有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 任意向量满足
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件
10.对于随机事件，，若，，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 是的极大值
B. 当时，
C. 当时，有且仅有一个零点，且
D. 若存在极小值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ______．
13.在矩形中，，，平面，，则平面与平面的夹角的正切值为______．
14.若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间四点，，，．
求以，为邻边的平行四边形面积；
若、、、四点共面，求的值．
16.本小题分
盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．
随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是多少？
随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色两次展示的颜色中，黑色的次数记为，求随机变量的分布和数学期望．
17.本小题分
已知函数其中，为常数在处取得极值．
当时，求的极值；
若在上的最大值为，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．
求证：；
若为棱的中点，求二面角的正弦值；
记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．
19.本小题分
已知函数，，其中是自然对数的底数．
当时，求在上的值域；
当时，讨论的零点个数；
当时，证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：，，，
则，，
，
又，，
，
；
四边形的面积为．
以，为邻边的平行四边形的面积为．
由题意，得，
、、、四点共面；
存在唯一一对实数，使得；
，解得：，
的值为．
16.解：记“展示的一面颜色是红色”为事件，“剩下一面的颜色也是红色”为事件，
因为盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色，
可得，，
所以；
若随机抽出一张卡片，颜色是黑色的概率为，
可得的所有可能取值范围为，，，
此时，，，
所以的分布列为：
则．
17.解：，．
函数在处取得极值，所以，
所以当时，，
则，，
，
由，可得或，
、随的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以的极大值为，极小值为．
由可知，则，，
所以，
当时，，，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
此时的最大值为，与题干矛盾，所以，
令，可得，
因为在处取得极值，所以，即，
当时，，，此时在上恒成立，所以在上单调递减，
此时的最大值为，解得，符合题意；
当，，
当，即时，
在上恒成立，所以在上单调递增，
此时的最大值为，解得，符合题意；
当，即时，在上单调递减，
所以的最大值为，不符合题意；
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以的最大值为，
因为，所以，解得，此时不满足题意．
综上，的值为或．
18.解：证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以；
如图：
取中点，连接，
因为平面，平面，所以，
在四边形中，，且，
所以四边形为矩形，所以平面，
又在和中，，，，
所以≌，
所以，，
故DA，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系，
当为中点时，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
所以．
所以二面角的正弦值为：．
设，，则，，，
设平面的法向量为，
则，取，
则到平面的距离为：，
到平面的距离为：，
所以，
设，
则，
那么当且仅当，即时取“”，
所以．
19.解：当时，，，
因为，
所以，
所以在上单调递减，
又，，
所以在上的值域为；
因为，
所以，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
当时，，
则，
所以在上有且仅有个零点；
当时，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
即，
又，
所以在上有个零点，
又，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上有一个零点．
综上所述，时，有一个零点，时，有个零点；
证明：当，时，，
设，
当时，，，
又由知，
所以，
当时，，
设，
则，
所以在单调递增，
所以，
所以，
即在单调递增，
所以，
综上，，
即当时，，
即．
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