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2024-2025学年湖北省武汉市重点中学5G联合体高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知某质点位移与时间满足函数，则质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2.数列满足，且，，则( )
A. B. C. D.
3.参加实践活动的名教师和，，，，名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且、相邻的方法有种．
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为( )
A. B. C. D.
8.已知是函数的导函数，且对任意实数都有，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.甲、乙两个口袋各装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有个红球，个红球，个红球分别记为事件，，，则( )
A. B. C. D.
11.对于，，，的全部排列，定义数其中，，，，表示其中恰有次升高的排列的个数注：次升高是指在排列中有处，，，例如：，，的排列共有：，，，，，六个，恰有处升高的排列有如下四个：，，，，因此：则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中含的系数为______用数字填写答案
13.某学校有，两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为则张同学第二天去餐厅用餐的概率为______．
14.对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，其中．
若在点处的切线与直线垂直，求的值；
当时，求函数在区间上的最值．
16.本小题分
已知，且．
求的值；
若时，求被整除的余数．
17.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，，是自然对数的底数．
当时，求函数的极值；
若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
当时，若，其中满足，求证：．
19.本小题分
已知函数，
求的值；
求函数的单调区间；
若不等式对任意都成立其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：的定义域为，
，
所以，
直线的斜率为，
又在点处的切线与直线垂直，
所以，即，解得．
时，，
所以，
又，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
又，
，
所以，
所以，
所以．
16.解：已知，且．
，
，
，
又，，
，
两边同时求导数，
，
令，则，
时，
，
被整除的余数为．
17.解：，
，
，
，
，故，
；
，
，
，
，
．
18.解：当时，，定义域为，
，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，无极小值；
有两个不等实根，所以有两个不等实根，
即，
设，则函数的图象与有两个交点，
则，
当时，，当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以的最大值为，
当时，，，
，即的取值范围是；
证明：当时，，
，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又且，所以，
要证，即证，
即证，即证，
设，
，
所以在单调递增，
又，
所以又，
所以，
所以．
19.解：由题意，，
．
的定义域为，，
设，
，
设，
，
在单调递增，单调递减，
又，
，，，
在单调递减，又，
，，，，
，，，，
单调递增区间为，单调递减区间为．
不等式等价于不等式，
由，，
设
，
由知：，
，
，在上单调递减，
，
，即的取值范围是
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