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2024-2025学年河南师大附中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.已知正方形的边长为，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积是( )
A. B. C. D.
5.如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，下列说法不正确的是( )
A. 对任意点，平面
B. 三棱锥的体积为
C. 线段长度的最小值为
D. 存在点，使得与平面所成角的大小为
6.如图，在直三棱柱中，是边长为的正三角形，，为棱上的中点，为棱上的动点，过作平面的垂线段，垂足为点，当点从点运动到点时，点的轨迹长度为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，四边形是边长为的菱形，半圆面底面，点为圆弧上的动点当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别是，，，，，，则线段长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.内角，，的对边分别为，，已知，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的周长为 D. 的面积为
10.九章算术里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”在鳖臑中，，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 直线与平面所成角的正弦值
D. 内切球的半径为
11.对非零向量，定义运算“”：，其中为与的夹角，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若中，，则
D. 若中，，则是等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，，在边上，延长到，使得，若为常数，则的长度是 ．
13.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为______．
14.在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，且．
若，且，求向量的坐标；
若，求在方向的投影向量用坐标表示．
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中，在底面中，，在棱上且．
求证：平面；
线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若的角平分线交于点，，，求；
若的外接圆的半径为，求的取值范围．
19.本小题分
如图所示，正方体的棱长为．
过正方体的顶点，，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积；
若，分别是棱，的中点，请画出过，，三点的平面与正方体表面的交线保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由，并求出交线围成的多边形的周长；
设正方体外接球的球心为，求三棱锥的体积．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：设，
，
，
又，
，
，
，
或，
或；
，
，
在上的投影向量为．
16.证明：因为，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
解：存在，且当点为上靠近点三等分点时，
即时，平面平面．
下面给出证明：
因为，所以，，
又因为点为上靠近点三等分点，所以，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为在棱上且，即，
又因为，所以，
所以，又平面，平面，
所以平面，
又，平面，，
所以平面平面．
17.解：因为，
由余弦定理及正弦定理得：
，
则
，
又是锐角三角形，所以，，
所以，所以，
又，所以；
由余弦定理可得，
又，
所以
，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得解得，
则，所以
所以，所以
所以线段长的取值范围为．
18.解：因为，
可得，
由正弦定理得，
由余弦定理可得，
可得，
且，
所以；
因为的角平分线交于点，，，可知，
因为，
即，
则，
可得；
由正弦定理可得，
则，
可得，
又因为，则，
可得，
即，
所以的取值范围为．
19.解：因为正方体，所以平面，
则为三棱锥的高，，，
则，
则正方体剩余部分的体积为．
画直线交，延长线分别为点，，
再分别连接，，分别交，于点，，
顺次连接，，，，，五边形即为交线围成的多边形，
易得，，则为等腰直角三角形，
则，根据∽，，
则，，则，，
同理可得，，而，
则五边形的周长为
连接，易知的中点即为正方体外接球的球心点，
且，
易得三棱锥为正三棱锥，
而三棱锥的顶点在底面上的投影即为等边三角形的中心点，
且点，均在直线上，
，
由得，
即，解得，
而，所以，
所以，
则．
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