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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市道外区高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 两个单位向量一定相等
B. 若与不共线，则与都是非零向量
C. 共线的单位向量必相等
D. 两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
2.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.在中，已知角，，的对边分别为，，，若：：：：，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，三点，则等于( )
A. B. C. D.
5.如图，测量河对岸的塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点与，垂直于平面现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高( )
A.
B.
C.
D.
6.在中，边上的中线为，点满足，则( )
A. B. C. D.
7.如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是( )
A. B. C. D.
8.如果复数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为的直角三角形，则( )
A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数为虚数单位，则实数的值为______．
13.在中，内角，，所对的边分别为，，，，则 ______．
14.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构正八面体是每个面都是正三角形的八面体，如图所示若此正八面体的棱长为，则它的内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，．
若是实数，求；
若是纯虚数，求的共轭复数．
16.本小题分
已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为．
求；
求；
在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求．
若，且三角形的面积为，求的周长．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求
截去的三棱锥的表面积；
剩余的几何体的体积；
在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
若边，，的平分线交边于点求的长；
若为边上任意一点，，求的最小值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，则，
；
，
由且，解得，
则，的共轭复数为．
16.解：；
因为，
所以；
在方向上的投影向量为．
17.解：因为，
由余弦定理可得，
所以，
又，
所以；
因为，，三角形的面积为，
所以，
可得，，
由余弦定理得：．
解得：，
所以的周长．
18.解：根据题意可得：截去的三棱锥的表面积为：
；
根据题意可得剩余的几何体的体积为；
根据正方体的性质易知平面，
到平面的距离为，
又矩形的体积为，
四棱锥的体积为．
19.解：
根据题意可知，向量，，
由得，，即，
，由得，，
，，
根据余弦定理得，，即，得，
为的平分线，，
，
，；
根据题意可知，，即，
，故，
，，
，，，即，
，
当且仅当时等号成立，
的最小值为．
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