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2024-2025学年天津市渤海石油一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共16小题，每小题5分，共80分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若名女生名男生排成一排，则名女生不相邻的排法有种．
A. B. C. D.
2.名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有( )
A. B. C. D.
3.某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在内完成刹车，其位移单位：关于时间单位：的函数关系式为，则的实际意义是( )
A. 汽车刹车后内的位移 B. 汽车刹车后内的平均速度
C. 汽车刹车后时的瞬时速度 D. 汽车刹车后时的瞬时加速度
4.设是可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
5.有个零件，其中个一等品，个二等品，若从这些零件中任取个，那么至少有个是一等品的概率是( )
A. B. C. D.
6.在件产品中有件一等品和件二等品，如果不放回地依次抽取件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是( )
A. B. C. D.
7.一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为，，，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为，，，则这位教授迟到的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
9.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是( )
A. B. C. D.
10.下列说法不正确的是( )
A. 随机变量的方差和标准差越小，则偏离变量的平均程度越小
B. 若是常数，则
C. 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度
D. 离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定
11.若，则( )
A. B. C. D.
12.函数的单调减区间是( )
A. B.
C. 和 D.
13.已知函数的图象如图所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是( )
A. B.
C. D.
14.用，，，，，这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
15.己知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
16.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
17.小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试次，那么其中恰有次获得通过的概率是______．
18.一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有______种排法；前个节目中要有相声节目，有______种排法．
19.若，则的展开式的第项的系数为______用数字作答
20.对于的展开式，下列说法正确的是______．
所有项的二项式系数和为；
所有项的系数和为；
常数项为；
二项式系数最大的项为第项．
21.已知函数在时有极值，则______．
22.“双十一”是指每年的月日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满元的顾客会随机获得，，三种赠品中的一件，现恰有名顾客的购物金额满元．设随机变量表示获得赠品完全相同的顾客人数，则______，______．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.本小题分
一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球，个白球，从中随地摸出个球作为样本用表示样本中黄球的个数若有放回摸球，求的分布列、均值、方差．
24.本小题分
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白粽个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取个．
Ⅰ求三种粽子各取到个的概率；
Ⅱ设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望．
25.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，求函数的单调区间和极值；
Ⅲ若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
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17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.解：对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此，
的分布列为，


则，．
24.解：Ⅰ令表示事件“三种粽子各取到个”，
则由古典概型的概率公式有．
Ⅱ随机变量的取值为：，，，
则，，，
．
25.解：Ⅰ，，
，
则
所以在点处的切线方程为即
Ⅱ因为 ，
所以 ，
当 时，因为 ，所以 ，
函数 的单调增区间是 ，无单调减区间，无极值
当 时，令 ，解得 ，
当 时，；当 ，，
所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ，
在区间 上的极小值为 ，无极大值．
Ⅲ因为对于任意 ，都有 成立，所以 ，
即问题转化为 对于 恒成立，
即 对于 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，，则 ，
所以 在区间上单调递增，
故 ，进而，
所以 在区间上单调递增，
函数 ，
要使 对于 恒成立，只要 ，
所以 ，即实数的取值范围是
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