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2024-2025学年江西科技学院附中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 零向量的长度是
C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是在同一条直线上的向量
2.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.非零向量，满足：，，则与夹角的大小为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，与的交点为，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
7.记的内角，，所对的边分别为，，，若，则边上的中线长度的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，满足：与的夹角为锐角，，，且的最小值为，向量的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 设为非零向量，若，则
B. 若，则或
C. 设为非零向量，则
D. 若点为的重心，则
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则有一解
B. 若，则无解
C. 若，，，则有一解
D. 若，则有两解
11.如图，已知圆内接四边形中，，，下列说法正确的是( )
A. 四边形的面积为
B. 该外接圆的直径为
C.
D. 过作交于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为则的值为______．
14.在中，角，，的对边分别为，，，已知，的平分线交于点，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，，，且，．
若，且，求的坐标；
若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求的最小正周期及对称轴、对称中心；
若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为锐角三角形，，求的取值范围．
18.本小题分
如图所示，在中，为边上一点过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点两点不重合．
若，
(ⅰ)用，表示；
(ⅱ)若，，求的值．
若，，是线段上任意一点，求最大值．
19.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，．
求；
若为锐角三角形，且外接圆圆心为．
求的取值范围；
求和面积之差的最大值．
参考答案
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15.解：已知平面向量，，，且，，
若，且，
设，，，，即，
又，，解得或
或；
由题可知，，，
与的夹角是锐角，，解得，
又与不共线，，即，
实数的取值范围是．
16.解：因为
，
即，
所以的最小正周期；
令，，
所以，，
解得，，
故函数的对称轴为，；
令，，
则，，
解得，，
故对称中心为，．
当时，，
所以，
则在上的值域为，
因为不等式恒成立，
所以，
即实数的取值范围为．
17.解：因为，
则，
故，
在中，，，
所以，
则，，
可得，
所以，
所以．
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形，
则，
解得，
则，
即，
故，
即的取值范围为．
18.解：如图，在中，
因为，
所以
，
(ⅱ)因为，，
所以，，
又，
所以，
又，，三点共线，且在线外，
所以，即；
因为，
所以，
则，
当且仅当时取等号，故最大值为．
19.解：由正弦定理得，，
所以，即，
又，
所以，
由得，，
所以．
由题意知，，
而，，
所以，
由余弦定理得，，即，
所以，
由正弦定理得，，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，
所以，
所以．
设外接圆半径为，则，且，即，
因为，，
所以，
，
所以，
由知，，
令，
则，
所以当，即时，取得最大值．
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