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2024-2025学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在以下调查中，适合用普查的是( )
A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查一批灯的寿命
C. 调查某城市居民的食品消费结构 D. 调查一个班级学生的身高情况
2.函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.若一个三位数的各位数字之和为，则称这个三位数为“十全十美数”，如，都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有个
A. B. C. D.
4.设，为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理现有以下个命题：
；
对于任意正整数，．
则下列说法正确的是( )
A. 真真 B. 假真 C. 真假 D. 假假
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.已知集合，，则 ______．
6.复数的虚部为______．
7.从，，，，中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是______．
8.已知向量与的夹角为，，，则 ______．
9.甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为和，两人同时命中的概率为，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为______．
10.在的展开式中，常数项为______．
11.已知甲、乙两组数据分别为两组学生射击移动靶时的命中率，其茎叶图如图所示其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 ______．
12.若，，则被除所得的余数为______．
13.已知函数，则的最小值为______．
14.“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为，，，，，，，，，若，，则的最大值为______．
15.某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为，左右两端均为半球形，其半径为，若其表面积为，则胶囊的体积取最大值时 ______．
16.设、、、是、、、、、、、的一个排列，，则集合中所有元素的和为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知如图，在直三棱柱中，，．
求该直三棱柱的侧面积和体积；
求直线与所成的角．
18.本小题分
已知．
求函数的单调减区间；
求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．
19.本小题分
某学校高一年级的学生有人，其中男生人，女生人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表：
高一女生身高样本的频率分布表
组别 频数 频率
求的值并利用高一男生身高频率分布直方图来估计男生样本的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值做代表；
若女生身高的样本方差为，男生身高的样本方差为，请根据题目图表所给信息，求高一年级学生身高的样本平均数和方差．
20.本小题分
已知椭圆过点，其右焦点为过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线：交于点．
求椭圆的标准方程；
若，求直线的方程；
是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数，为坐标平面上一点若函数的图像上存在与不同的一点，使得直线是函数在点处的切线，则称点具有性质．
若，判断点是否具有性质，并说明理由：
若，证明：除原点外函数的图像上所有的点均具有性质；
若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.解：根据题意可得该直三棱柱的侧面积为；
该直三棱柱的体积为；
根据题意可将直三棱柱补全成如图所示的正方体：
易知，且三角形为等边三角形，
直线与所成的角为．
18.解：由题意得，
由，解得，
所以的单调递减区间为，；
求导数得，根据余弦函数的性质，
可知当时，即时，取得最小值．
即函数的最小值为，取最小值时自变量的取值集合为．
19.解：因为的频数为，频率为，
所以样本容量为，则，所以；
由男生样本的频率分布直方图知：
平均数为；
由女生样本的频率分布表可知：
平均数为，
所以高一年级学生身高的样本平均数为，
因为女生身高的样本方差为，男生身高的样本方差为，
所以方差为，
所以估计高一年级全体学生身高的样本平均数为，方差为．
20.解：因为点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为：．
由可得，可得：，
设，，直线的方程为，
联立 ，消去得，
为线段的中点，则，
即，解得：，
所以直线的方程为．
设，
由 ，两方程相减得 ，即，
所以，即，
又，所以，因为，所以，即，
，
，
，
所以．
所以存在满足题意的，且．
21.解：点具有性质，
理由如下：设，因为，
所以曲线在点处的切线方程为：，
将点坐标代入，得：，所以或，
即函数的图像上存在与不同的一点，
使得直线是函数图像在点处的切线，故点具有性质；
证明：对称中心为，
设，，
函数的图像在处的切线方程为：，
因为点在切线上，所以，
化简可得，
当时，只能，
即、点皆为原点不符合性质，
当时，，
即存在与不同的一点，使得直线是函数在点处的切线，命题得证．
证明：设，
函数的图像在处的切线方程为：，
必要性：若点具有性质，则点应满足方程，
令，
则由，得：，
当时，，当时，，
故函数在时取得最小值，
因为与是不相同的点，
所以点的横坐标，因此即，
充分性：当时，令对于函数，
当趋向时，趋向，又，
故关于的方程必然有解，
即存在点使得直线是函数的图像的切线，
所以点具有性质，
综上所述，“点具有性质”的充要条件是“．
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