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2024-2025学年北京166中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，集合，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则下列各式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
4.设函数，若，则( )
A. B. C. D.
5.若函数的图象如图，为常数则函数的图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数在区间上单调递增，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
7.“”是“不等式在上恒成立”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.由四名员工负责五月一日和五月二日某单位的白天值守工作每天从这四人中任选两人值班，则恰好有一人这两天都在单位值守的安排方案的种数是( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与交于，两点，若的面积是面积的倍，则( )
A. B. C. D.
10.进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为，信号数码进行发送与接收的在信道内传输，信号，信号的传输相互独立发送时，接收方收到正确的概率为，收到错误的概率为；发送时，接收方收到正确的概率为，收到错误的概率为考虑两种传输方案：单次传输和三重传输单次传输是指每个信号只发送次，三重传输是指每个信号重复发送次无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码例如，若依次收到，，，则译码为下列结论中正确的是( )
A. 采用单次传输时，若依次发送，，，则依次收到，，的概率为
B. 采用三重传输时，若发送数码，则译码为的概率为
C. 发送，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D. 当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.动点在圆：上运动，则点到轴的最近距离是______．
12.双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为______．
13.李红同学想到一个命题：“设函数的定义域为区间，若导函数在区间上单调递增，则函数在区间上也单调递增”王正同学想举反例说明这个命题是假命题，但又苦于找不到合适的函数，你能找到一个函数作为反例吗？答： ______写出一个具体的函数解析式
14.现有名教师要带个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有______种．用数字作答
15.已知函数．
时，函数的最小值为______；
设函数的值域为，若，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
长方体中，为棱的中点，，，．
求证：平面；
Ⅱ求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
设函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数的极值；
Ⅲ求函数在区间上的最大值．
18.本小题分
一个不透明的袋子中有若干个除颜色以外完全相同的小球，白球有个，黑球有个，其余个球均为红球．
设，，，小杨同学每次从袋中随机取一个球记录颜色后放回袋中，如此这般共取三次，求记录中恰好有两次白色的概率；
Ⅱ设，，，小衡同学从袋中随机抽取两个球，设这两个球中黑球的个数为，求的分布列与期望；
Ⅲ设，，，小石同学从袋中随机抽取三个球，设事件为“三个球的颜色都相同”，设事件为“三个球的颜色各不相同”，请比较事件与事件发生概率的大小关系直接写出结果即可
19.本小题分
设，函数．
讨论函数的单调区间；
Ⅱ求证：当时，不等式在区间上恒成立；
Ⅲ时，直线是否有可能为曲线的切线，请说明理由．
20.本小题分
已知抛物线：上有一点，直线：．
求抛物线的方程；
Ⅱ在抛物线上任取一点异于点，已知直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点证明：直线与直线交于定点．
21.本小题分
对于数列，记，，，，其中表示，，，这个数中最大的数并称数列是的“控制数列”，如数列，，，的“控制数列”是，，，．
Ⅰ若各项均为正整数的数列的“控制数列”为，，，，写出所有的；
Ⅱ设．
当时，证明：存在正整数，使，，，是等差数列；
(ⅱ)当时，求的值结果可含．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.，答案不唯一
14.
15.； ．
16.Ⅰ证明：以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为为棱的中点，，，，
可得，，，，，，
可得，，，
因为，
，
与不共线，所以为平面的法向量，
所以平面；
Ⅱ解平面的法向量为，，，
则，即，
令，可得，
由可得平面的法向量为，
，，，
设平面与平面的夹角为，
则，．
17.解：Ⅰ函数，则，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
Ⅱ的定义域为，，
令，可得或，
当或时，，当时，，
所以在和上的单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，极小值为；
Ⅲ由Ⅱ可知的大致图象如图所示：
令，即，解得或，
所以当时，函数在区间上的最大值为，
当时，函数在区间上的最大值为．
18.解：Ⅰ根据题意，，，，小杨同学每次从袋中随机取一个球记录颜色后放回袋中，
则其每次取到白色球的概率，
如此这般共取三次，记录中恰好有两次白色的概率；
Ⅱ根据题意，，，，可取的值为、、，
，，，
则的分布列为


；
Ⅲ根据题意，，，
由于，故．
19.解：设，其定义域为．
对求导得：．
当时，．
令，即，因为，所以，解得；
令，解得．
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，．
令，即，解得或；
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
当时，，所以在上单调递增．
当时，．
令，即，解得或；
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
Ⅱ证明：当时，设．
对求导得：，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
，，
，
所以，即，所以在区间上恒成立．
Ⅲ假设直线是曲线的切线，设切点为，
，则切线斜率，
且
由得，即，解得或，
当时，代入得，解得．
当时，代入得，即，
设，，
对求导得：．
令，对求导得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
，所以，在上单调递减．
又，时，，所以存在唯一的，使得，
所以当时，直线有可能为曲线的切线．
20.解：Ⅰ因为点在抛物线：上，
所以，解得，
所以抛物线的方程为．
Ⅱ证明：设，则，
则直线的方程为，与直线：联立，解得，
则，所以，即，
则，
所以直线的方程为，
令，则，化简得，
即直线与直线的交点为，为定点．
21.解：Ⅰ数列的各项为：，，，，，，，，，，，，，，，，．
Ⅱ当时，的对称轴为，
当时单调递增，由于，，，，
所以当，时，有，
由于是等差数列，
所以存在正整数，使，，，是等差数列．
的对称轴，由于，，，，
，，，，
当时，此时最大，
由于，，，
所以，
所以，
当时，，，
所以，
当时，
，，，，，
所以，
当时，，
故，
所以，
当时，开口向上，对称轴为，
所以单调递增，所以，
则，
综上所述，．
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