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2024-2025学年天津市塘沽紫云中学教育集团校高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A. 三点确定一个平面 B. 梯形确定一个平面
C. 两条直线确定一个平面 D. 四边形确定一个平面
3.复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
4.如图，为的边上的中线，且，那么为( )
A.
B.
C.
D.
5.四边形直观图为如图矩形，其中，，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
6.“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
9.设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：
若，，则；
若，，则；
若，且，，则；
若，且，则．
其中所有正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
10.设，，向量，，，且，，则
( )
A. B. C. D.
11.在中，，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
12.正多面体也称柏拉图立体被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体已知一个正八面体的棱长都是如图，则下列说法错误的是( )
A.
B. 直线与平面所成的角为
C. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
D. 若点为棱上的动点，则的最小值为
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ______．
14.在中，，，，那么等于______．
15.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标______．
16.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______．
17.已知复数满足，则 ______．
18.如图，，，分别是三棱锥的棱，，的中点，，，，是三角形的周长为______，异面直线与所成的角为______．
19.立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著九章算术商功，在九章算术商功中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图，
再把一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图，
现有一四面体，已知，，，，，，根据上述史料中“鳖臑”的由来，可求得这个四面体的体积为 ，及该四面体的外接球的体积为 ．
20.在菱形中，，，，，已知点在线段上，且，则 ______，若点为线段上一个动点，则的最小值为______．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知向量，满足，．
Ⅰ求向量，的数量积；
Ⅱ求向量，夹角的余弦值；
Ⅲ求的值．
22.本小题分
如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点．
求证：直线平面；
求证：；
求二面角的余弦值．
23.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求的值；
求的面积；
求的值．
24.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，为上的点，且平面．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ在棱上是否存在一点，使平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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17.
18.
19.
20.
21.解：Ⅰ，，
；
Ⅱ，，
，，
；
Ⅲ，
．
22.解：证明：连接交于点，连接，如图，
则为的中点，
由于是的中点，故，
平面，平面，
平面；
证明：在四棱柱中，底面是菱形，则，
又平面，且平面，则，
平面，平面，，
平面，又平面，
；
连接，，
，是的中点，，
，平面，平面，
又平面，，
由底面是菱形，得，
又，，平面，
平面，又平面，
，
则为二面角的平面角，
，，，
由余弦定理可知，
二面角的余弦值为．
23.解：在中，因为，，，
所以由余弦定理，
得；
在中，因为，，，
则，，
所以的面积；
在中，由正弦定理，
可得，
，所以，
又，，
所以．
24.Ⅰ证明：平面，，
，，
平面，
，
，，
平面，
平面，
平面平面；
Ⅱ解：作，垂足为，连接，则为直线与平面所成角．
，，，
，
中，由勾股定理得，
；
Ⅲ解：作，交于，
，，
．
平面，平面，
平面，
平面，
．
，，
棱上存在一点，，使平面．
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