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2024-2025学年上海市奉贤区奉城高级中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中错误的是( )
A. 一组数据的平均数、中位数可能相同
B. 一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多
C. 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量
D. 极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量
2.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有和名学生，则不同的抽样结果的种数为( )
A. B. C. D.
3.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是( )
A.
B. 异面直线、所成的角为定值
C. 直线与平面所成的角为定值
D. 以、、、为顶点的四面体的体积为定值
4.抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件、和，则下列说法错误的是( )
A. 事件、和两两互斥 B.
C. 事件与事件是对立事件 D. 事件与相互独立
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______．
6.若一个样本空间，令事件，，则 ______．
7.已知函数，若，则常数的值为：______．
8.某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据单位：环为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为______．
9.已知关于正整数的方程，则该方程的解为______．
10.某校从名同学中用随机数法抽取人参加这一项调查将这名同学编号为，，，，，假设从第行第列的数字开始，则第个被抽到的同学的编号为______．
11.若， ______．
12.设是正整数，化简 ．
13.设有两个罐子，罐中放有个白球、个黑球，罐中放有个白球，这些球的大小与质地相同现在从两个罐子中各摸个球并交换，求这样交换次后，黑球还在罐中的概率为：______．
14.若组合数，则的最大值为：______．
15.若函数在区间内有最大值，则实数的取值范围是______．
16.甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为；
高二年级举行演讲比赛，共有名学生参赛，其中一班有名，二班有名，其他班有名记一班的名学生恰好被排在一起的概率为；
一个盒子中有大小与质地相同的个球，个红球，个白球，两人依次不放回地各摸个球，记第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率为；
从一个放有大小与质地相同的个黑球、个白球的袋子里摸出个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出个球，记该球是黑色的概率为则、、、从小到大的顺序为：______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
平面向量，函数．
求函数的最小正周期与零点；
在三角形中，内角、、的对边分别为、、，已知，，求三角形的面积．
19.本小题分
若，且的二项展开式中前三项的系数成等差数列，求的值，并求其二项展开式中所有的有理项；
若，求的值，并求系数最大的项．
20.本小题分
某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米，现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在线段或曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米设米，游乐场的面积为平方米．
试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
求面积关于的函数解析式；
试确定点的位置，使得游乐场的面积最大结果精确到米
21.本小题分
已知，．
若是函数的驻点，求的值；
当时，求函数的单调区间；
当时，对于任意的，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.或
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.，，，
17.解：取的中点，连接，，，
因为，所以，，，
因为，分别是，中点，得出，，
所以四边形是平行四边形，
所以，平面，不在平面，
所以平面；
因为平面，平面，
所以，
又因为，，
所以，即，
又因为，且，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面，且平面平面，
过在平面内作，垂足为，
则为直线与平面所成角，
在直角三角形中，，
所以，
故直线与平面所成角为．
18.解：，
所以，最小正周期为，
令，即，
所以，则函数的零点为；
，即，
因为为三角形内角，所以，，
即，解得，
所以的面积为．
19.解：二项展开式的通项公式为，
所以前三项的系数为，，，所以，即解得或，
因为，所以，所以，
所以为整数，所以为，，
所以，
综上可得：展开式中的有理项为，；
令，得，
二项展开式的通项公式为，
所以，
假设系数最大，则，解得，
所以，所以系数最大的项为和．
20.解：以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，
设曲线段所在抛物线的方程为，
由题意可知，点和在此抛物线上，
故，，
所以曲线段的方程为：；
由题意，线段的方程为：
当点在曲线段上时，，
当点在线段上时，，
所以，
当时，，
令，得，舍去，
当时，；当时，，
因此当时，是极大值，也是最大值．
当时，，
当时，是最大值．
因为，
所以时，取得最大值，此时，
所以当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大．
21.解：由，，
则，
因为是函数的驻点，
所以，解得．
由，，
则，
令，得或，
当时，，
则函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，，令，得或；
令，得，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
当时，，
由知，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
所以当时，，
由题意，对于任意的，，
即为存在，且，使得成立，
设，，且，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以要使成立，则，．
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