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2024-2025 学年重庆第二外国语学校高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如表是离散型随机变量 的概率分布，则 =( )
1 2 3 4

1 124 8 2 6
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.肖华参与答题竞赛，需要从 ， 两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级，若肖华选择 ， 试题
的概率分别为 0.8，0.2，答对 ， 试题的概率分别为 0.8，0.6，则肖华晋级的概率为( )
A. 0.64 B. 0.68 C. 0.72 D. 0.76
3.如图是函数 = ( )的导函数 ′( )的图象，则下面判断正确的是( )
A. ( )在( 3,1)上是增函数 B. ( )在(1,2)上是减函数
C.当 = 2 时， ( )取得极小值 D.当 = 4 时， ( )取得极小值
4.二项式( 3 2 4 ) 的展开式中的常数项为( )
A. 8 B. 8 C. 32 D. 32
5.6 本不同的书摆放在书架的同一层上，要求语文、数学两本书必须摆放在两端，英语、物理两本书必须相
邻，则不同的摆放方法有( )种．
A. 24 B. 36 C. 48 D. 60
6.函数 ( ) = 3 + 2 + 3 + 1 在 = 3 时取得极值，则当 ∈ [ 4, 1]时， ( )的最大值为( )
A. 9 B. 2 C. 10 D. 5
7.已知口袋中有 3 个黑球和 2 个白球(除颜色外完全相同)，现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸
到白球情况下，第三次又摸到白球的概率为( )
A. 1 110 B. 4 C.
2
5 D.
3
5
8 4(2 4) 1 4.设 = 2 ， = ， = 4 ，则 ， ， 的大小顺序为( )
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A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 41 × 42 × 43 × × 50 可表示为 1050
B. 5 个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手 10 次
C.若把英文“ ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 5040 种
D.吴老师将手里 5 张演唱会的门票分给本班数学成绩前 10 名中的 5 人，则分法有 510种
10.已知(2 )5 = 2 50 + 1 + 2 + + 5 ，则( )
A. 0 = 32 B. 1 + 2 + + 5 = 1
C. 2 = 80 D. 1 2 + 3 4 + 5 = 211
11.已知函数 ( ) = 3 6 2 + 9 2，以下命题正确的是( )
A.若函数 = ( ) 不存在极值，则实数 的取值范围是( 3, + ∞)
B.方程 ( ) = 22 的所有实根的和为 8
C.过点 (0,1)且与曲线 = ( )相切的直线有三条
2
D.方程 ( ) = (1 + ) + 2 [
′( ) (6 +9)
3 ]，则 ( )的极大值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ( ) = + 2 ，则 ′(1) = ______．
13 1.已知离散型随机变量 所有可能取值为 1，0，1，其中 ( = 1) = 1 ， ( = 1) = 1 ， ( = 0) = 3，
则 的最大值为______．
14.设 为大于 2 的自然数，将二项式(1 + ) = = 0( )两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等
式 (1 + ) 1 = = 1( 1 )，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到 = 1( 2 ) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 2 ．
(1)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)求函数 ( )的单调区间．
16.(本小题 15 分)
1
已知( + )
的展开式中，第 3 项与第 4 项的二项式系数之比为 1：1．
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(1)求 的值；
(2) 1求展开式中含 2的项．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ， ∈ [0, + ∞)， ≈ 2.718， 2 ≈ 0.693．
(1)当 = 2 时，求 ( )在区间[0,1]上的值域；
(2)若对任意 ∈ [0, + ∞)，都有 ( ) ≥ 1 成立，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
某学校有 、 两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择
2 1
图书馆的概率是5，若在前一天选择 图书馆的条件下，后一天继续选择 图书馆的概率为3，而在前一天选
3择 图书馆的条件下，后一天继续选择 图书馆的概率为4，如此往复．
(1)求该学生第一天和第二天都选择 图书馆的概率；
(2)求该学生第二天选择 图书馆的概率；
(3)记该学生第 天选择 图书馆的概率为 ，求数列{ }的通项公式．
19.(本小题 17 分)
在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线 = ( )，我们定义
| ″|
曲线段 的平均曲率为 = | |，曲线在点 处的曲率为 = → 0| | = 3 (若极限存在)，其中 ′，(1+ ′2)2
″分别表示 = ( )在点 处的一阶、二阶导数值.已知函数 ( ) = 2 2 3．
(1)求函数 ( )在点 (2, 3)处的曲率；
(2)求函数 ( )的曲率 的最大值；
(3) 3设函数 ( ) = 2 33 2
2， ∈ (0, 1 )，若存在
8
1， 2使得 ( )的曲率为 0，求证：2 1 + 2 > 3．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.49
14. ( + 1)2 2
15.解：(1)因为 ′( ) = 2 2 ，
则 (1) = 1， ′(1) = 0，
所以线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 1 = 0，即 = 1；
(2)定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 2 2 2( 1)( +1) = ，
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
故 ( )的单调递增区间为(1, + ∞)，单调递减区间为(0,1)．
16.解：(1)由题可得： 2 = 3 ，
所以 = 5．
1 1 5 3 (2)由(1)，( + )5的展开式的通项公式为 = ( )5 ( ) +1 5 =

5 2 , ∈ , ≤ 5，
5 3
由 2 = 2，解得 = 3，
1 10
所以展开式中含 的项为 = 3 2 2 4 5 = 2．
17.解：(1)当 = 2 时， ( ) = 2 ， ′( ) = 2，
当 0 ≤ < 2 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
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当 2 < ≤ 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
而 (0) = 1， (1) = 2，因此 ( ) = (0) = 1， ( ) = ( 2) = 2 2 2，
所以 ( )在区间[0,1]上的值域为[2 2 2,1]．
(2) ′( ) = ，对任意 ∈ [0, + ∞)， ≥ 1，
当 ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0，函数 ( )在[0, + ∞)上单调递增，
则对任意 ∈ [0, + ∞)， ( ) ≥ (0) = 1，符合题意；
当 > 1 时，函数 ′( )在[0, + ∞)上单调递增，
当 0 ≤ < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 0 < < 时， ( ) < (0) = 1，不符合题意，
综上， ≤ 1，即 的取值范围是( ∞,1]．
18. 2解：(1)因为第一天选择 图书馆的概率是5，若在前一天选择 图书馆的条件下，后一天继续选择 图书
1
馆的概率为3，
2 1 2
所以第一天和第二天都选择 图书馆的概率为5 × 3 = 15；
(2) 2 1 2第一天选 C 图书馆，第二天选 C 图书馆的概率为5 × 3 = 15，
2
第一天选 D 图书馆，第二天选 C 图书馆的概率为(1 5 ) × (1
3
4 ) =
3
20，
C 2 3 17故第二天选 图书馆的概率为15+ 20 = 60；
(3)由题意，当 ≥ 2 1 3时， = 3 1 + (1 4 )(1 1)，
则 =
1 1
12 1 + 4，
3所以 11 =
1
12 (
3
1 11 )，
又因为 3 = 21 11 5
3 7
11 = 55，
所以{
3 7 1
11 }是以55为首项，12为公比的等比数列，
3故 11 =
7
55 × (
1 1
12 ) ，
所以 7 = 55 × (
1 1 3
12 ) + 11．
19.(1)解：由题意可得 ′( ) = 2 2， ″( ) = 2，则 ′(2) = 2， ″(2) = 2，
( ) 2 2 5所以函数 在点 (2, 3)处的曲率 = 3 = ．
(1+22) 252
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(2)解：由(1)知， = 2 3，令 = (2 2)2 ≥ 0
2
，则 = 3，
[1+(2 2)2]2 (1+ )2
3
函数 = (1 + ) [0, + ∞) 22在 上单调递增，因此函数 = 3在[0, + ∞)上单调递减，
(1+ )2
当 = 0，即 = 1 时，函数 ( )的曲率 取得最大值 2．
(3) 3证明：函数 ( ) = 2 3
3 2
2， ′( ) = 2 2 2 ， ″( ) = 2 2 ，
由 ( )曲率为 0，得 ″( ) = 0，则 = 0 ，即 = ，
1
令 ( ) = ，则 ′( ) = 2 ，
当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
( ) ( ) = 1的最大值为 ，

又当 > 1 时， ( ) = > 0 恒成立，而 ∈ (0,
1
)，因此 = ( )有两个解 1， 2，
0 < < < = 1 = 2 1 1 = 0 当 1 11 2时， ，则1 2 2
，设
2 = 0
= = ， ∈ (0,1)，2 2
1 2 于是 =2
= ， ∈ (0,1)， + 2 = 2，则 2 = 1， 1 = 1，2
8 (2 +1) 8 8( 1) 8( 1)
不等式 2 1 + 2 > 3 1 > 3 < 3(2 +1) 3(2 +1) < 0，
2 2
令 ( ) = 8( 1) 1 8 (2 +1) 8 (2 1)3(2 +1) , 0 < < 1，求导得 ′( ) = (2 +1)2 = (2 +1)2 = (2 +1)2 ≥ 0，
因此函数 ( )在(0,1)上单调递增， ( ) < (1) = 0 8，则 2 1 + 2 > 3；

当 0 < 1 12 < < 1时， = = > 1，2 2
8 (2 +1) 8 8( 1) 8( 1)
不等式 2 1 + 2 > 3 1 > 3 > 3(2 +1) 3(2 +1) > 0，
2
( ) = 8( 1) (2 1)3(2 +1) , > 1，同理 ′( ) = (2 +1)2 ≥ 0，函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
因此 ( ) > (1) = 0 2 + 8，则 1 2 > 3，
所以 2 81 + 2 > 3．
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