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2024-2025 学年广东省广州二中教育集团高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从 7 本不同的书中选出 3 本送给 3 位同学，每人一本，不同的选法种数是( )
A. 37 B. 73 C. 21 D. 210
2.{ }是等比数列， 3， 7是方程 2 + 4 + 3 = 0 的两根，则 5 =( )
A. ± 3 B. 3 C. 3 D. 2
3.函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则下列说法正确的有( )
A. = 2 为函数 ( )的一个零点 B.函数 ( )在区间( 1, 12 )上单调递减
C. = 12为函数 ( )的一个极大值点 D. ( 1)是函数 ( )的最大值
4.已知函数 ( ) = ，若存在实数 ∈ [0,2 ]，使得 ( ) < 成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, ) B. ( , + ∞) C. (0, ) D. ( , 2 )
5.设等差数列{ }的前 项和为 ，公差为 ，若 8 + 9 > 0， 9 < 0，则下列结论不正确的是( )
A. < 0 B.当 = 8 时， 取得最大值
C. 2 + 5 + 12 > 0 D.使得 > 0 成立的最大自然数 是 15
6.设底部为等边三角形的直棱柱的体积为 ，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 23
+ 2, ≤ 0
7.设 为实数，若函数 ( ) = 1 3 4 + , > 0有且仅有一个零点，则 的取值范围是( )3
A. ( ∞, 163 ) B. ( ∞,
16 ] C. ( 163 3 , + ∞) D. [
16
3 , + ∞)
8.已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行
为 3，5，第三行为 7，9，11，第四行为 13，15，17，19，如图所示，在
宝塔形数表中位于第 行，第 列的数记为 , ，例如 3,2 = 9， 4,2 = 15， 5,4 =
23，若 , = 2025，则 + =( )
A. 64 B. 65 C. 68 D. 72
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }满足 1 = 1， +1 = 3 + 1， ∈ ，则( )
A. 121 是数列中的项
B. +1 = 3
C. { + 1 2 }是等比数列
D. ∈ 1 + 1存在 ， + +
1 3
1 2
=
2
10.若 3 男 3 女排成一排，则下列说法正确的是( )
A.共计有 360 种不同的排法
B.男生甲在排头或在排尾的排法总数为 240 种
C.男生甲、乙相邻的排法总数为 240 种
D.男女生相间排法总数为 36 种
2
11.已知函数 ( ) = ，则下列正确的是( )
A. ( )的极小值为 0
B. ( )过(0,0) 点的切线方程为 =
C. ( ) = 3 2有三个实根
D. ( ) = ( ) ，当 0 < 1 < 2时， 22 ( 1) < 21 ( )
4
2 恒成立，则 的取值范围是 ≥ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = 2 1, ∈ 5 6 ，则 = ______．
13 { } = 2025 .等差数列 中， 1 ，前 项和为 ，若 12 12
10
10 = 2，则 2025 = ______．
14.已知不等式 (1 ) > + 在区间(0, 2]上恒成立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }，{ }中， 1 = 4， 1 = 2，{ }是公差为 1 的等差数列，数列{ + }是公比为 2 的等比数
列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和 ．
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 1 在 = 1 处取得极值 6．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求函数 ( )在区间[ 2,3]上的最大值和最小值．
17.(本小题 15 分)
1
已知曲线 ： = ( > 0)，曲线 在点 0(1,1)处的切线交 轴于点 1，过 1作与 轴垂直的直线与 交于点 1，
曲线 在点 1处的切线交 轴于点 2，…，依次下去，得到点列： 1， 2， 3，…， ，…，设 的横坐标
为 ．
(1)求证： +1 = 2 ；
(2)求数列{ }的前 项和．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }满足 + 2 + +1 = 4 + 1( ∈ )，且 1 = 1，数列{ }满足 +1 ( + 1) = + ( ∈ )，
且 1 = 1．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) 证明{ }为等差数列；
(3)若 = ( 1)
4( +1) ( ∈ + )，求数列{ }的前 项和 ． +1
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1 (其中 为参数)．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)若对任意 ∈ (0, + ∞)，都有 ( ) ≥ 0 成立，求实数 的取值集合；
(3) 1 1证明：(1 + )
< < (1 + )
+1(其中 ∈ ， 为自然对数的底数)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.2025
14.( ∞,1 1 )
15.解：(1)由题意，可得 = 4 + ( 1) × 1 = + 3，
故 = + 3， ∈ ，
∵数列{ + }是公比为 2 的等比数列，且 1 + 1 = 4 2 = 2，
∴ 1 + = 2 2 = 2 ，
∴ = 2 = 2 3， ∈ ．
(2)由题意及(1)，可得 = 2 ( + 3)，
则 = 1 + 2 + 3 + +
= (21 4) + (22 5) + (23 6) + + [2 ( + 3)]
= (21 + 22 + 23 + + 2 ) [4 + 5 + 6 + + ( + 3)]
= 2(1 2
) ( +7)
1 2 2
= 2 +1
2
7 2 2 2．
16.解：(1)由 ( ) = 3 + 2 + + 1，知 ′( ) = 3 2 + 2 + ．
而 ( )在 = 1 处取得极值 6，故 ′( 1) = 0， ( 1) = 6．
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1+ + 1 = 6 = 6
故有方程组 3 2 + = 0 ，即 2 = 3．
所以 = (2 ) ( ) = 3 6 = 3， = (2 ) 2( ) = 3 2 6 = 9．
(2)由(1)知 = 3， = 9，故 ( ) = 3 3 2 9 + 1， ∈ [ 2,3]．
′( ) = 3 2 6 9 = 3( 3)( + 1)，
当 2 ≤ ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0，当 1 ≤ ≤ 3 时， ′( ) ≤ 0，
所以 ( )在[ 2, 1]单调递增，在[ 1,3]单调递减，
而直接计算知 ( 1) = 6， (3) = 26， ( 2) = 8 12 + 19 = 1，
故 ( )在[ 2,3]上的最大值为 6，最小值为 26．
17.解：(1) 1证明：设 ( , )，
1 1
由 = 的导数为 ′ = 2，
可得切线的斜率为 1 2，
曲线 在点 1 1 处的切线方程为 = ( )， 2
可令 = 0，解得 = 2 ，
即有 +1 = 2 ；
(2)由点 0(1,1)，可得切线方程为 1 = ( 1)，
可令 = 0，解得 = 2，即 1 = 2，
可得数列{ }是首项和公比均为 2 的等比数列，即有 = 2 ，
数列{ }的前 项和 = 1 2 + 2 22 + 3 23 + . . . + ( 1) 2 1 + 2 ，
2 = 1 22 + 2 23 + 3 24 + . . . + ( 1) 2 + 2 +1，

相减可得 = 2 + 22 + 23 + . . . + 2 1 + 2 2 +1 =
2(1 2 ) +1 +1
1 2 2 = (1 ) 2 2，
即有 = ( 1) 2 +1 + 2．
18.解：(1) +1 = 4 + 1( ∈ )，即 1 = 4 3， > 2，且 1 = 1，
∴当 > 2 时， = ( 1) + ( 1 2) + … + ( 2 1) + 1
= (4 3) + (4 7) + … + 4 × 2 3 + 1 = (1+4 3)2 = 2
2 ．
又 = 1 时也满足上式，故 = 2 2 ；
(2)证明：∵ ( + 1) = 2 + ，∴ +1 +1 +1 = 1，
∴ { }是公差为 1，首项为 1 的等差数列．
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(3)由(2) 得 = 1 + 1 =
2
．
4 2 = ( 1) ( +1) 4 1 1 (2 2 )[2( +1)2 ( +1)] = ( 1) (2 1)(2 +1) = ( 1) ( 2 1 + 2 +1 )．
∴ = 2 ( ∈ ) 1 1 1 1 1 1时，数列{ }的前 项 = 2 = (1 + 3 ) + ( 3 + 5 ) ( 2 3 + 2 1 ) + ( 2 1+
1
2 +1 )
= 1 + 12 +1 =
2
2 +1．
= 2 1( ∈ )时，数列{ }的前 项和 = 2 1 = (1 +
1
3 ) + (
1 1 1 1
3+ 5 ) + ( 2 3 + 2 1 )
( 1 + 12 1 2 +1 )
= 1 1 2 +22 +1 = 2 +1．
2
2 +1 , = 2 ( ∈
)
所以 = ．
2 +2 2 +1 , = 2 1( ∈ )
19. 解：(1) ′( ) = ， ∈ (0, + ∞)，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，∴ ( )在(0, + ∞)，
当 > 0 时，令 ′( ) = 0，得 = ，
∈ (0, )时， ( )单调递减，
∈ ( , + ∞)时， ( )单调递增；
综上： ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上递增，无减区间，
当 > 0 时， ( )的单调递减区间为(0, )，单调递增区间为( , + ∞)；
(2)由(1)得： ( )极小值 = ( ) = 1 ．
∵对任意 ∈ (0, + ∞)，都有 ( ) ≥ 0 恒成立，
∴ ( )极小值 = ( ) = 1 ≥ 0．
∴ ≥≥ 11 ，解得 = 1，
∴实数 的取值集合为{1}．
(Ⅱ) 1 1证明：设数列 = (1 + )
，数列 = (1 + +1 ) ，

由 → ∞(1 + 1 ) = ，得： → ∞ = ， → ∞ = ，
因此只需证数列{ }单调递增且数列{ }单调递减，
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①证明数列{ }单调递增：
= (1 +
1 ) < ( +2 +1 +1 ) = +1，
∴数列{ }单调递增．
②证明数列{ }单调递减：
= (1 +
1 +1 1 1
) = ( ) +1 = (令 = ( + 1)，换元) +1 (1 1 +1 +1)
= (1 + 1 ) = ，
由①得 关于 单调递增，而 = ( + 1)关于 单调递减，
由复合函数的单调性知，{ }单调递减，
∴ (1 + 1 )
< < (1 + 1 ) +1 ．
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