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2024-2025 学年广东省江门市新会东方红中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (3, )， = (2, 1)， ⊥ ，则实数 的值为( )
A. 3 32 B. 2 C. 6 D. 2
2 .下列函数中，最小正周期为2的是( )
A. = sin 2 B. = 2 C. = 4 D. = | |
3.在△ 中，点 满足 = 3 ，则( )
A. = 2 3
+ 13
B. = 1 2 3 + 3

C. = 2 1 D. = 1 2 3 3 3 3
4.已知扇形面积为 8，扇形的圆心角为 2 ，扇形的周长为( )
A. 8 2 B. 4 2 C. 8 D. 2
5.已知 为第三象限角，则下列判断正确的是( )
A. > 0 B. > 0 C. > 0 D. 2 > 0
6.复数 满足(1 + ) = | |，其中 为虚数单位，则 的共轭复数的虚部为( )
A. 1 B. 1 1 12 2 C. 2 D. 2
7.已知 sin( 5 2 ) =
3
4，则 2 =( )
A. 7 7 1 18 B. 8 C. 8 D. 8
8.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，∠ = 60°，且△ 的面积为 3，若 + = 6，则 =( )
A. 2 6 B. 5 C. 30 D. 2 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 67°30 3′化成弧度是8 B. 225° =
2
2
C. tan( 11 6 ) =
3 D. 3 12化成角度是 15°
10.下列说法正确的是( )
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A. = | |2， ∈
B. 2024 = 1
C.若| | = 1， ∈ ，则| 2|的最小值为 1
D.若 4 + 3 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的根，则 = 8
11.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，下列说
法正确的是( )
A.函数 = ( )的周期是 2
B. 5 函数 = ( )的图象关于直线 = 12对称
C.函数 = ( )在[ , 5 6 ]上单调递减
D.该函数的图象可由 = 2 的图象向左平行移动6个单位长度得到
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.长方体 1 1 1 1中， = 4， = 3， 1 = 5，一只蚂蚁从点 出发，沿表面爬行到点 1，
则蚂蚁爬行的最短路径长为______．
13.已知 1, 2是两个不共线的非零向量，若 2 1 2与 1 2共线( ∈ )，则 = ______．

14.设复数 的共轭复数为 ，若 1 3 = 2 ，则| | = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 , 满足| | = 1, | | = 2, (2 ) ( + 2 ) = 3．
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求| 2 |的值．
16.(本小题 15 分)
化简下列各式：
(1) sin(2 ) cos( + )cos( ) sin(3 ) sin( )；
(2) = 1 +2 已知 3，求5 sin ；
(3) 20° 110° + 160° 70°．
17.(本小题 15 分)
已知 = (2,1)， = ( 3,4)．
(1)设向量 , 的夹角为 ，求 的值；
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(2)求向量 在向量 上的投影向量的坐标；
(3)若( )//( + )，求 的值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin( + 6 ) + sin( 6 ) + + 的最大值为 1，
(1)求常数 的值；
(2)求函数 ( )的单调递减区间．
19.(本小题 17 分)
在△ 1中，角 、 、 的对边分别为 ， ， .已知 = 6， = 2 ， = 4．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 74
13.12
14. 2
15.解：(1)由向量 , 满足(2 ) ( + 2 ) = 3，
2
可得 2 2 2 + 3 = 3，
又| | = 1，| | = 2，所以 = 1，
故 = 12，又 ∈ [0, ]，所以 =

3；
(2)由(1)可得：
| 2 | = ( 2 )2
2
= 2 + 4 4
= 1 + 16 4
= 13．
16. (1) sin(2 ) cos( + ) ( ) 1解： cos( ) sin(3 ) sin( ) = ( cos ) sin sin = sin ；
(2) = 13，
1
+2 = +2
3+2 5故5 sin 5 tan = = ；5 ( 1 163)
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(3) 20° 110° + 160° 70°
= 20°cos(90° + 20°) + cos(180° 20°)sin(90° 20°)
= sin220° cos220°
= 1．
17.解：(1)因为 = (2,1)， = ( 3,4)，
所以| | = 4 + 1 = 5，| | = 9 + 16 = 5， = 2 × ( 3) + 1 × 4 = 6 + 4 = 2，
=
2 2 5
所以
| ||
=
| 5 5
= 25 ；
(2)向量 在向量 2 (2,1) 4 2上的投影向量的坐标为 | | | | = 5 × 5 = ( 5 , 5 )；
(3) = (2,1) ( 3,4) = (5, 3)， + = (2,1) + ( 3,4) = (2 3 , 1 + 4 )，
因为( )//( + )，
所以 5(1 + 4 ) + 3(2 3 ) = 0，解得 = 1．
18. 解：(1)由题意：函数 ( ) = sin( + 6 ) + sin(

6 ) + + ，
( ) = + + 化简得： 6 6 6

6 + +
= 3 + + = 2 ( + 6 ) + ，
∵ sin( + 6 )的最大值为 1，
∴ ( ) = 2 × 1 + = 1，解得： = 1．
(2) ∵由(1)可知 ( ) = 2 ( + 6 ) 1．
3
根据三角函数的性质可得：2 + 2 ≤ + 6 ≤ 2 + 2，( ∈ )
4
解得：2 + 3 ≤ ≤ 2 + 3，( ∈ )，
∴ ( ) 4 的单调递减区间为[ 3 + 2 , 3 + 2 ], ∈ ．
2 2 2 2 2
19. + 4 + 6 1解：(1)由余弦定理可得， = 2 = 4 2 = 4，
解得 = 1；
(2) 1由于 为△ 的内角，且 = 4，
15
则 = 1 cos2 = 4 ，
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由(1) 知， = 2，则由正弦定理可得， =

，
2× 15
则 = 4 10 = 6 = 4 ．
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