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2024-2025 学年辽宁省名校联盟高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算结果正确的是( )
A. (ln( )) 1′ = B. ( )′ = ( + 1)
C. ( )′ = D. ( )′ = 1cos2
2.在正项等比数列{ }中，已知 2 = 1， 3 + 4 = 6，则 1 4 =( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.已知{ }是递增数列，则{ }的通项公式可能为( )
A. = 2 + 10 B. 3 = 7 + 1 C. =

+2 D. = 2
4 1.已知{ }是等比数列，{ }是等差数列， 2 = 2， 5 = 4，公比 等于公差 ， 1 = 2，则 3为( )
A. 12 B. 2 C. 3 D.
1
2
5 1.若函数 ( ) = 3 + 3( > 0)
1
的图象与函数 ( ) = 的图象有公切线 ，且直线 与直线 = 2 + 2
互相垂直，则实数 =( )
A. 1 B. 2 C.
1 1
或 2 D. 或 4
6.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设 ， ， ( > 0)为整数，若 和
被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ≡ ( ).若 = 120 2 + 2 2 2020 2 + + 20 220, ≡
( 9)，则 的值可以是( )
A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024
7.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架歼 20 飞机准备着舰.如果甲、乙两机
必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
8.盒子里有 8 个除颜色外完全相同的小球，其中 2 个黑色，6 个白色.现每次不放回地抽取 2 个小球，直到
2 个黑球全部取出为止，则共有( )种不同的取法．
A. 10 B. 4 C. 16 D. 20
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ( ) = ( + 2)， ( ) = ( + 2) ，则下列结论正确的是( )
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A.函数 ( )在(0, + ∞)上存在极大值
B. ′( )为函数 ( )的导函数，若方程 ′( ) = 0 有两个不同实根，则实数 的取值范围是(2 2, 2)
C.若对任意 ≥ ，不等式 ( ) ≤ (( 2 + 2 ) )恒成立，则实数 的最大值为 2 +
D. 1若 ( 1) = ( 2) = ( > 0)，则 的最大值为 1( 2 + 2)
10.某大学的 3 名男生和 3 名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这 6 名同学排成一排合
影留念，则下列说法正确的是( )
A.若要求 3 名女生相邻，则这 6 名同学共有 144 种不同的排法
B.若要求女生与男生相间排列，则这 6 名同学共有 96 种排法
C.若要求 3 名女生互不相邻，则这 6 名同学共有 144 种排法
D.若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这 6 名同学共有 480 种排法
11.如图， 11是一块半径为 1 的圆形纸板，在 1的左下端前去一个半径为2的半圆后得到图形 2，然后依次
剪去一个更小半圆(其直径为前一个前掉半圆的半径)得图形 3， 4， ， ， ，记纸板 的周长为 ，面
积为 ，则下列说法正确的是( )
A. = 7 + 13 4 2 B. 3 =
11
32
C. 1 1 = [2 ( 2 ) ] + (
1 ) +1 D. 2 +1 = 22 +1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某市的有线电视可以接收中央台 12 个频道，本地台 8 个频道和其他省市 40 个频道的节目.若有 3 个频
道正在转播同一个节目，其余频道正在播放互不相同的节目，则一台电视可以选看的不同节目共
有 个.
13.已知数列{ }为递减数列，其前 项和 = 2 + 2 + ，则实数 的取值范围是______．
14.若函数 ( ) = ( 4) 2 3 + 3 23 + 1 只有一个极值点，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取 1 个球，每次摸球结果相互独立，
盒中有 1 2 1分和 2 分的球若干，摸到 1 分球的概率为3，摸到 2 分球的概率为3．
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(1)若学生甲摸球 2 次，其总得分记为 ，求随机变量 的分布列与期望；
(2)学生甲、乙各摸 5 次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励.已知甲前 3
次摸球得了 6 分，求乙获得奖励的概率．
16.(本小题 15 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 = 4 2， 2 = 2 + 1( ∈ )．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)数列{ }满足 1 = 3
9
，令 = +2 +1，求证： =1 < 2．
17.(本小题 15 分)
2
已知函数 ( ) = + , ∈ ．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)求函数 ( )在区间(0,3]上的最小值．
18.(本小题 17 分)
假设你是一个不算太差的一般人， 喜欢你的概率是 25%；如果 喜欢你，第一次能约出来的概率是 70%；
如果 不喜欢你，第一次能约出来的概率是 20%．
(1)如果第一次能约出来， 有多大可能喜欢你呢？
(2)如果第一次约会后 喜欢你，则第二次能约出来的概率为 85%；如果 不喜欢你，则第二次能约出
来的概率为 5%.如果 连着两次都能约出来， 有多大可能喜欢你呢？
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 1( ≠ 0)．
(1)当 = 1 时，求 ( )的极值；
(2)设 ( ) = ln[ ( ) + 1]，不等式 ( ) < ( + 3) + + 对 ∈ (1, + ∞)恒成立，求整数 的最大值；
(3)当 = 2 时，不等式 ( ) ≥ + 3 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.58
13.( 2, + ∞)
3
14.[0, 2 ] ∪ {

6 }
15.解：(1)由题意知学生甲摸球 2 次总得分 的取值为 2，3，4，
( = 2) = 23 ×
2
3 =
4 1 2
9， ( = 3) = 2 × 3 ×
1 = 43 9， ( = 4) =
1 1 1
3 × 3 = 9，
所以 的分布列为：
2 3 4
4 4 1
9 9 9
4 4 1 8
所以 ( ) = 2 × 9+ 3 × 9 + 4 × 9 = 3；
(2)记 =甲最终得分为 分， = 8，9，10， =乙获得奖励，
( 1 2 1 49) = 2 × 3 × 3 = 9，
( 8) = 2(
2
2 3 )
2 = 49．
当甲最终得 9 分时，乙获得奖励需要最终得 10 分，
则 ( | ) = 5( 1 )5 = ( 1 )59 5 3 3 ；
当甲最终得 8 分时，乙获得奖励需要最终得 10 分或 9 分，
第 4页，共 7页
则 ( | 5 1 5 1 2 1 4 1 58) = 5( 3 ) + 5 × 3 × ( 3 ) = 11 × ( 3 ) ，
故 ( ) = ( 9 ) + ( 8 ) = ( 9) × ( | 9) + ( 8) × ( | 8)
= 4 × ( 1 )5 49 3 + 9 × 11 × (
1 5 48 16 16
3 ) = 37 = 36 = 729，
16
即乙获得奖励的概率为729．
16.解：(1)等差数列{ }的前 项和为 ，设公差为 ，
由 4 = 4 2， 2 = 2 + 1( ∈ )，可得 4 1 + 6 = 4(2 1 + )，
2 = 2 1 + 1，即 1 + = 2 1 + 1，解得 1 = 1. = 2，
则 = 1 + 2( 1) = 2 1；
(2)证明： 1 = 3，
2 1
由 +1 = +2 +1，可得 = = ， +2 2 +3
则 =
2 31 . . .
1 1 3 2 5 2 3
1 2
= 3 × × . . .
2 1 5 7 2 1
2 +1
= 9 9 1 1(2 1)(2 +1) = 2 ( 2 1 2 +1 )，对 = 1 也成立，
+ + + . . . + = 9 (1 1 + 1 1所以， 1 2 3 2 3 3 5+ . . . +
1 1 9 1 92 1 2 +1 ) = 2 (1 2 +1 ) < 2．
17.解：(1) 2由 ′( ) = 2 ， > 0，
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0，即函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
当 > 0 0 < < 2 ( ) < 0 > 2 ( ) > 0 ( ) (0, 2 ) ( 2时，有 ， ′ ， ， ′ ，即 在 上单调递减，在 , + ∞)上单
调递增，
综上，当 ≤ 0 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
2 2
当 > 0 时， ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
(2)由(1)，当 ≤ 0 时，函数 ( )在(0,3]上单调递减，∴ ( ) = (3) = 3 +
2
3，
0 < ≤ 2 2当 3，即 ≥ 3 时，函数 ( )在(0,3]上单调递减，∴ ( ) = (3) = 3 +
2
3，
2 2
当 > 3，即 < 3 时，函数 ( )
2 2
在(0, )上单调递减，在( , 3]上单调递增，
∴ ( ) = (
2
) =
2
+ ．
2 2 2 2
综上，当 ≤ 3时， ( ) = 3 + 3，当 > 3时， ( ) = + ．
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18.解：(1)设 =“ 喜欢你”， =“第一次能约出来”，
1 3
则根据题意可得 ( ) = 25% = 4， ( ) = 75% = 4，

( | ) = 70% = 7 110， ( | ) = 20% = 5，

所以 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | )
= 1 × 7 3 1 134 10 + 4 × 5 = 40，
1 7
( ) ( ) ( | ) × 7
所以所求为 ( | ) = 4 10 ( ) = ( ) = 13 = 13 ≈ 53.85%；
40
(2) 7
6
由(1)可知 ( | ) = 13，所以 ( | ) = 1 ( | ) = 13，
设 =“第二次能约出来”，

则根据题意可知 ( |( | )) = 85% = 0.85， ( |( | )) = 5% = 0.05，

所以 ( ) = ( | ) ( |( | )) + ( | ) ( |( | ))
= 7 613 × 0.85 + 13 × 0.05，
所以所求为 (( | )| ) = (( | ) ) = ( | ) ( |( | )) ( ) ( )
7
= 13
×0.85 119
7 = = 95.2%．
13×0.85+
6 125
13×0.05
19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = 3 1，易知 ∈ ，又 ′( ) = 3 2 3 = 2 (3 )，
所以当 ∈ ( ∞,3)时， ′( ) > 0，当 ∈ (3, + ∞)时， ′( ) < 0，
即 ( ) = 3 1 在区间( ∞,3)上单调递增，在区间(3, + ∞)上单调递减，
故函数 ( ) = 3 1 在 = 3 处取到极大值 (3) = 27 3 1，无极小值．
(2)因为 ( ) = ln[ ( ) + 1] = ln( 3 ) = 3 + ，由 ( ) < ( + 3) + + ，
得到 < + + ，所以不等式 ( ) < ( + 3) + + 对 ∈ (1, + ∞)恒成立，
即 < + + 对 ∈ (1, + ∞) < ( +1)恒成立，整理得到 1 对 ∈ (1, + ∞)恒成立，
令 ( ) = ( +1) 1 ( > 1)，则 ′( ) =
2
( 1)2 ，
令 ( ) = 2，则 ′( ) = 1 1 =
1
> 0 在区间(1, + ∞)上恒成立，
所以 ( ) = 2 在区间(1, + ∞)上单调递增，
又 (3) = 1 3 < 0， (4) = 2 4 > 0，由零点存在性原理知， 0 ∈ (3,4)，使 ( 0) = 0 0 2 = 0，
所以当 ∈ (1, 0)时， ( ) < 0，得到 ∈ (1, 0)时， ′( ) < 0，
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当 ∈ ( 0, + ∞)时， ( ) > 0，得到 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在区间(1, 0)上单调递减，在区间( 0, + ∞)上单调递增，
( ) ≥ ( ) = 0( 0+1) = 0( 0 2+1)所以 0 1 1 = 0，所以 < 0，又 0 ∈ (3,4)，0 0
所以整数 的最大值为 3．
(3)当 = 2 时，由不等式 ( ) ≥ + 3 ，得到 3 2 1 1 ≥ + 3 ，
3 ≤
2 1 3
整理得到 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，
令 ( ) = 1 ( > 0)，则 ′( ) = 1 1 =
1
，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( ) ≥ (1) = 0，即 ≥ 1 + ，当且仅当 = 1 时取等号，
3 2 1 3 1+ 3 2 ≥ 1 3 2 所以 = = 2，
令 ( ) = 3 2 ，则 (0) = 0 < 1， (1) = 2 > 1，所以方程 3 2 = 1 必有解，
3 2 3 2 = 1 = 1 3 所以当且仅当 时， ( > 0)有最小值，且最小值为 2，
所以实数 的取值范围为( ∞,2]．
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