资源简介

秘密★启用 前 7.已知正六棱柱 ABCDEF-A B C D,E F 的底面边长为4,体积为 120√3,点 N在正
2025届普通高等学校招生全国统一考试 六边形A,B,C D E F 内及其边界上运动，若 AN=√29,则动点 N的轨迹长度为（）。
青桐鸣大联考(高三)
A.π
0 数 学
8.已知函数 f(x)=x -9x +ax+b(a,b∈R),且不等式 f(x)>0的 解集为 {x|x>m,
〇 注意事项 ：本 且x≠n}(m,n∈R),m+n=3,则 f(x)的极大值为（）。
0 1.答卷前 ，考 生务必将 自己的姓名、班级 、考场号 、座位号 、考 生号填写在答题卡上。 A.0 B.36 C.72 D.108试
Q 2.回答选择题时 ，选 出 每小题答案后 ，用 铅笔把答题卡上对应题 目的 答案标号涂黑 。 二、选择题 ：本题共 3小题 ，每小题 6分 ，共 18分 。 在每小题给出的选项中，有多项符合题
卷
如需改动 ，用橡皮擦干净后 ，再选涂其他答案标号 。 回答非选择题时 ，将答案写 在答题卡
目要求。全部选对的得 6分 ，部 分选对的得部分分 ，有选错的得 0分 。
由 上。 写在本试卷上无效 。 9.现有一组数据分别为71,63,67,83,73,63,关于这组数据，下列说法正确的是（）。
各 3.考试结束后 ，将 本试卷和答题卡一并交回 。 A.极差为 20 B.众数为 63 C.方差 D.中位数为 71
市 装
地 一、选择题 ：本题共 8小题 ，每小题 5分 ，共 40分 。 在每小题给出的 四个选项中，只有一项
,则 下列说法正确的 是（）。
县 是符合题目 要求的 。
O 1.若 i ≈=1-i,i为虚数单位， 为x的共轭复数 ，则复数 z=（）。
区
A.1+ i B.1- i C.-1+ i D.-1- i B.函数 f(x)的值域为
参
2.已知全集 U={2,3,4,5,6,7},A=(2,4,6} ,B={3,6,7} ,则 ( CuA)∩B=（）。
考 订 C.函数 f(x)的图象关于直线A.(3,6 } B.(3,7} C. (3,6,7 } D.(6,7}
学 3. 已知向量 a=(3 ,81)和向量 b=(1,9),若 a//b,则实数 x=（）。
校 A.- 1 B.O C.1 D.2
0 11.小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类.每道单选题选对得 8分 ，选错得
留 4.已知随机变量 X～N(90,o ),P(X>80)=0.6,则 P(80存 A.0.2 B.0.1 C.0.6 D.0.4 题都有12道 ，其中单选题有7道 ，多选题有 5道.小明抽中一组题后，电脑会从 12道
5.在 (√x-1)°的展开式中，含有x 项的系数为（）。
准考证号 线 每道多选题
A.15 B.6 C.20 D.2
且每道试题回答是否正确互不影响 ，则下列说法正确的是（）。
的大致图象是（）。
姓 名 Q
B.在小明作答的试题中至少有 6道单选题的条件下，试题恰有 7道单选题、3道多选
C.当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时 ，其多选题总得分的期望为 18
D.当 小明作答的试题中有且仅有n(3≤n≤5,n∈N*)道多选题时，其单选题总得分的
A B c D 期望为 60-6 n
数学试卷 第 1页(共 4页 ) 数学试卷 第 2页(共4页 )
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 17. (15分 )
已知数列 (a }的前 n项 和S。 满 足 S =2*+ +1.
(1)求 (a n }的通项公式 ；
.圆 C x +y= (2)若 Vn∈N* ,azn>àn · 3” 恒成立，求实数 λ 的取值范围.
a +b 与 E在 第一象 限的 交点为 A,且 |AF;I= 12,则 a=
14. 已知函数 f(x) ,g(x)的定义域均为 R,且 f(x+1)为偶函数 ，f(x+2)为奇函数 ，函数
g(x)=x - mx-11(m>0) 的最小值为-36,若函数 F(x)= f(x)-g(x)有 两个零 装
点 s,t,则 s+t=
18. (17分 ) 考
四、解答题 ：本题共5小题 ，共 77分 。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 生已知抛物线C;:x =16y 的准线为1,以(1,2)为 圆心，面积为 10π的圆与y轴 的负半轴 注
15. (13 分 ) 意交于点Q,动点 P到 直线l 的距离为 2|PQ|. 清
在△ABC中，a,b,c分 别是角A,B,C的对边，且 csinA=√3acos C,a> 2,b=6,c= (1)求动点 P 的轨迹 F的 方程； 点
试
2√7. (2)若直线l与 y轴 的交点为 M ,是 否存在过点 M 且 斜率存在的直线 n 交 F于 A,B 卷
有
(1)求 角 C; 两点 ，使 |MA| · |MB|=3√2|AB| 若 存在 ，求 出直线 n 的方程 ；若 不存在 ，请说明 无
(2)求△ABC的 面积 ； 漏理由. 印
(3)求 向量 AB在向量CA上 的投影向量 的模. 订 或
缺
页
若
16.(15 分 ) 有
要
如图(1)所示的平面图形 中，AD⊥CD,AD//BC,AD=8,CD=10,BC=4,点 P 是 以 19. (17分 ) 及
时
CD 为直径的半圆 上任意 一点(不与点 C,D 重合 ),以 CD 为 折痕 ，将 半 圆所在平 面 已知 a∈R,函数 f(x)=aln(x+1)-2x-2,g(x)=2x-e +cos x. 更
CDP折 起，使平面 CDP⊥平面 ABCD,如图(2). (1)当a≠0时 ，讨论函数 f(x)的单调性 ； 换
(2)证明：函数 g(x)存 在两个零点； 否
则
(3)当x>-1 时 ，不等式 g(f(x))≤0恒 成立，求 a 的取值范围. 线 责
任
自
负
图 (1) 图 (2)
(1)证明 ：PD⊥平面 PBC;
(2)求△PBD面积的最大值；
(3)当 PD=4√5时，求平面 PBC与平面ABP 的夹角的余弦值.
数学试题 第 3 页(共 4 页 ) 数学试题 第 4页 (共 4页 )
2025届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣大联考(高三)
数学 参考答案
1.C 【解析】 i x= 1- i,即 iz=1- i,即 以动点 N的 轨迹长度为
-1-i,所以 =-1+i. 故选 C.
故选 C. 8.D 【解析】因为不等式 f(x)>0的解集为 {x|x>
2.B 【解析】因为 CA ={3,5,7} ,B={3,6,7} ,所以 m,且 x≠n}, 则 f(x)= (x-n) (x-m)= x -
( C A)∩B= {3,7}. (2n+m)x +(2mn+n )x-mn ,故 2n+m= 9,
故选 B. 又m+n=3,故 n=6,m=- 3,故 f(x)=(x-
3.D 【解析】因为 a//b,所 以 3 ×9=81,即 3*=9, 6) (x+3),则 f'(x)= 2(x-6)(x+3)+(x-6) =
所以 x= 2. 3x(x-6),令 f'(x)=0,解得 x=0或 x=6,故
故选 D. f(x)在 (一～ ,0)上单调递增 ，在 (0,6)上单调递
4.A 【 解析】因为 X～ N (90,o ),所 以 μ=90,又 减 ，在 (6, +～ )上单调 递 增 ，故 x=0 是 函数
P(X>80) = 0.6,根 据 正 态 曲 线 的 性 质 可 得 ， f(x)的极大值点，f(x)的极大值为f(0)=(0-
P(80100)= 2P(80故选 A . 9.ABC 【解析】将该组数据从小到 大排列 ：63,63,
5.A 【解析】因 为 (√x-1)° 的展开式的通项公式 67,71,73,83,可得该组数据 的极差 为 83-63=
T =C(√ ) -(-1)°,r=0,1,2,3,4,5,6,令 20,故 A正确 ；
6-r=4,得 r=2,故含有 x 项 的系数 为 C × 众数为 63,故 B正确 ；
1= 15 . 平均数
故选 A.
6.B 【解析】函数 f(x)的定义域为 (-~ ,0)U(0, 差
,故 C正确；
,故 函数 f(x)为奇函 因为中位数为 ,故 D错误.
数，图象关于原点对称 ，排除选项 A;当 x>0时 ， 故选 ABC.
10.BC 【解析】因为 sin 2x+√3cos 2x=2sin(2x+
2;当x<0时 ，f(x)=-(2“+2~)<-2√2'×2-=
-2,排除选项 C;选项 B符合题意.
故选 B. 对于选项
7.C 【解析 】设此正六棱柱 的高 为 h,则体积 V=
≠
5,得 A-5;又 AN- .所 以, A
√29,在 直 角三 角 形 A AN 中 ，可 得 A N = f(0) 故 错误 ；
√AN -AAF=2,所 以 点 N 的轨 迹为 以 A 为 圆 对于选 项 B.令 t e
心·以 2 为半径 的圆弧·又因为 ,所 [-2,2],因 为 在t∈[-2,2]上单调递
· 数学答案 第 1 页(共 5 页) ·
减，所以f(x)的值域为 ,故 B正确 ； 以AF ⊥ AF , 由双 曲线 的定 义 得 |AF l =
|AF |-2a= 12-2a,由AF ⊥AF ,得 |AF l
+
对于选项 C,因 为 |AF l = |F F | , 即 (12-2a) +

144 =
(2c) = 4c = 4e a = 10a ,解 得 a= 4(a= -12,故 C 舍去).
正确 ； 14.10 【解析】由函数 g(x)=x - mx-11 的 最小
对于选项 D,将 的 图象 向右平 值为 一 36,得
移 个单 位 长 度 所得 图象 对应 的 函数是 y= m=±10,又 m>0,故 m=10,所以g(x)=x -10x-11,对称轴为x=5.因为函数 f(x+1)为
2min 2x .故「(4 )的图象 向右平移 个位长度 偶函数 ，所以f(1+x)=f(1-x),可得 f(x)=f(2-x); 因为 函数 f(x+2)为 奇 函数 ，所 以
得到的函数为 ,因 为 g(0)= 1≠ f(2-x)= -f(2+x) ,可 得 f(x)= -f(4-
0,故 D错误. x),又 f(x)= f(2-x),所以 f(2-x)=-f(4-
故选 BC. x),即 f(2+x)= - f(x),所 以 f(x+4)=
-f(x+2)=f(x),故 函数 f(x)是以4 为周 期
11.ABD 【解析】对于选项 A,可知从 7道单选题、5
道多选题中随机抽取出 6道 单选题、4道 多选题， 的周期 函数 ，由 f (1+x)=f(1-x), 得 函数
f(x)关于 x=1 对称 ，所 以 函数 f(x)关于 x=5
其概率为 故 A正确 ； 对称，故 F(x)=f(x)-g(x)关于 x=5对称 ，所
以 s+ t= 10.
对于选 项 B,所 求 概 率 为 15.解 ：(1)由正 弦定 理，得 sin Csin A= √3sin A ·
正确 ； cos C , (1 分 )
对于选项 C,设多选题全部选 对 的 题 数为 ξ,则 因为 A∈(0,π),所以 sin A≠0,
,故 多选题 所以 sinC=√3cos C,得 tan C=√3, (2分 )
(4 )
总得分的期望为 故 C错 因为 C∈(0,π),所以 分误 ；
对于选项D,设单选题选对的题数为X,因为单选 (2)由余弦定理得 c =a +b -2abcos C, (5分 )
题的 题数为 10—…·所以 ,所 因为 h=6.c=2、7,代人整理得a -6a+以
8=0, (6分 )
,故单选题总得分的期望为8× 解得 a=4(a=2舍去), (7分 )
D 正 m 所以△ABC的 面积
故选 ABD. (3)因为 CB·CA=abcos C=12, (9分 )
AB=CB-CA, (10分 )1 【解析 】因 为 f(x)= sin x,所 以 f'(x)= 所以向量 AB在 向量 CA上 的 投影 向量 的 模为
cos x,所 以
(13分 )
13.4 【解析】设右焦点为 F ,半焦距为c,因为圆C: 16.解 ：(1)证 明： ∵平 面 CDP⊥ 平 面 ABCD,平 面
x +y =a +b 与 E在第一象限的交点为A,所 CDP∩平面 ABCD=CD,AD⊥CD,ADC平面
· 数学答 案 第 2 页(共 5 页) ·
ABCD, ∴平面 PBC 与平 面 ABP 的夹角的余 弦值 为
∴AD⊥平面 CDP. (1 分 )
∵AD//BC,∴BC⊥平面 CDP, (15分 )
∵PDC平面 CDP,∴BC⊥PD. (2分 ) 17.解 ：(1)S。=2*+ + 1,则 当 n≥2 时 ，ao=S。-
∵点 P 在以CD为直径的半圆上， S - = 2"+ +1-(2 "+1)=2" , (2分 )
∴PC⊥PD , (3分 ) 当n=1时 ，a =S =2 +1=5,不符合 a =2”,
又BC,PCC平面PBC,BC∩PC=C, (4 分 )
∴PD⊥平面 PBC. (4分 )
(2)由 (1)得 PD⊥平面 PBC, ∵PBC平面 PBC, 所以 (6分 )
∴PD⊥PB, (5分 ) (2)因为 V n∈N* ,aza> λn · 3”,所 以 Vn∈N ,
∴PB +PD =BD =BC +CD =116, (6分 ) (7分 )
当且
令 .则 (8分 )
仅当 PB=PD=√58时取等号 ，
∴△ PBD 面积的最大值为 29. (8分 ) 当n≥2时 ，不妨设{cn}的第 n项的值最小 ，
(3)在平面 CDP 内过点 P作 PG⊥DC于点G,则
PG⊥平面 ABCD,以G为 坐标原点 ，以过点 G与 只需令 (10分 )
AD平行的直线为x 轴 ，GC,GP 所在的直线分别
为y 轴 、 轴 ，建立如 图所示的 空间直角坐标系 解得 3≤n≤4 , (12分 )
G-xy≈, (9分 ) (14 分 )
所以{c }的最小值为
mu ,即λ 的取值范围是
(15 分 )
当 PD=4√5时 ，PC=√DC -PD =2√5,则 18.解 ：(1)以(1,2)为圆心 ，面积为 10π的圆的方程为
.可得CG-2. (10分 ) (x-1) +(y-2) = 10 , (1 分 )
B , , ,P , , ,A ,- , ,D ,- , 令 x=0,得 y=-1或 y=5,因为点 Q在 y轴 的则 (4 2 0) (0 0 4) (8 8 0) (B P 0 8A - A - 负半轴上 ，所以 Q(0,- 1), (3分 )0), 则 =( 4,10,0),P =( 8,8,4),D 易得抛物线 C:x =16y 的准线为l:y=-4,=(0,8,4) , (11 分 ) (4分 )
设平面ABP 的法向量为m=(x,y,x), 设 P(x,y),则 |y+4|=2√x +(y+1) ,
即 (5分 )
令y=2,则 x=5,x=6, 整理得 F的方程为 (7分 )
∴m= (5,2,6). (13分 ) (2)存在 . (8分 )
由(1)得平面PBC的一个法向量为DF, (14分 ) 依题意可知 M (0,-4),设 直线 n 的方程为 y=
kx-4,A(x ,y ),B(x ,y ) , (9 分)

联立
· 数 学答案 第 3 页(共 5页) ·
整理得 (3k +4)x -24kx+36=0, 当x≤0时 ，sinx≤1,e ≤1,且等号不同时成立 ，
△= 144(k -4)>0 , (10分 ) 则g'(x)>0; (5 分 )
故 (11 分 ) 当x>0 时 ，-1≤ cosx≤ 1,e> 1,故 -e-
cos
+
x<0 ,
于 是 |AB|=√I R |x -x |=√T+k · 设h (x)=g’ (x)=2-e -sin x,则 h′(x)=
-e -cos x<0 ,
故函数 g'(x)在区间(0,+～)上单调递减，
(12 分 ) (6分 )
因为 A,M ,B 三 点 共 线 ，所 以 MA · M B= 又g'(0)= 1,g'(1)= 2-e -sin l<0,
|MA||MB|, (13分 ) 故存在x ∈(0,1)使得 g'(x )=0, (7分 )
又因为 MA·MB=(x ,y +4) · (x ,y +4)=
+ 当00, 当 x>x0 时，(x ,kx ) · (x , kx ) = (k 1) x x = g'(x)<0,
(14分) 故函 数 g (x)在 (一 ，xo)上 单 调 递 增 ， 在
(x ,
+~ )上单调递减 ， (8分 )
若 |MA | · |MB|=3√2|AB| ,即 又 g(0)=2×0-e +cos 0=0,
g(x )>0,g (π)= 2π-e+cos π< 2π-e -(15分 ) 1<0 ,
解得 k=±3,满足 △>0, (16 分 ) 存在 x ∈(x ,π),使得 g(x )=0,
故存在直线 n,其方程为y=±3x-4. (17分 ) 故函数 g(x)存在两个零点. (9分 )
(注 ：若少写一个方程 ，扣 1 分) (3)设 u=f(x) ,y=g(u) ,
19.解：(1)函数 f(x)的定义域为(-1,+～ ) ,(1 分 ) 由 (2)可得函数 y=g(u)的 图象如图所示 ：
(2分 )
当 a< 0 时 ，f’ (x)< 0,故 函数 f(x)在 区间
(-1,+~ )上单调递减 ； (3分)
当a>0时 ，令 f′(x)=0,解得 (10分 )
当x 变 化时 ，f' (x) ,f(x)的变 化情 况如下 表 当a=0 时 ，因 为 x> -1,f(x)= -2x-2<
所示 ： -2×(-1)-2= 0,则 g (u)< g (0) = 0, 即
g(f(x))≤0恒成立 ； (11 分 )
x 当a<0时 ，函数 f(x)在区间(-1,+～ )上单调
f'(x) 十 0 递减 ，
f x 单调递增 单调递减 又 f(0)=-2<0,当x→-1 时 ，f(x)→+ ,( ) 存在x ∈(-1,0),使得 f(x )=0, (12分 )
故 当0> 0时 ，函数 f C )在 区间 上 当x∈(-1,x )时 ，u=f(x)>0, 故存在 u∈(0,u ) ,使 g(u)> 0,即g(f(x))>
单调递增 ，在区 间 )上单调迷减。 0,与题设矛盾 ； (13 分 )
(4分 ) 当α>0 时·函数“一/(x)的极大值为
(2)证明 ：由 g(x)= 2x-e +cosx,
则g (x)= 2-e -sin x, : 1 (14分 )
· 数学答案 第 4 页(共 5 页) ·
当 2- a≤0时 ，即 当 0 0,即 g (f(x))> 0,与题设
矛盾.
g(u)≤0,即 g(f(x))≤0恒成立 ， (15分 ) 综上 ，实数a 的取值范围为[0,2e]. (17分 )
当 0 时 ，即 a> 2c时 ，存 在 u∈
· 数学答案 第 5 页(共 5 页) ·

展开更多......

收起↑