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2024-2025学年八年级下册期末测试卷（湖州市专用）
数 学
考试范围：八下全册 考试时间：100分钟 分值：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．要使二次根式有意义，则的值不可以为（　　）
A． B．0 C．2 D．3
2．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（　　）
… 0 1 2 3 …
… 0 0 …
A． B．
C． D．
4．对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．点在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
5．用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　）
A．不平行于 B．平行于 C．不垂直于 D．不垂直于
6．已知方程，下列说法正确的是（　　）
A．只有一个根 B．只有一个根
C．有两个根 D．有两个根
7．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
9．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．数据5，6，7，8，9的标准差是　 　．
12．方程没有实数根，则m的取值范围是　 　．
13．如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为　 　．
… 3 …
… …
14．如图，菱形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=8，∠BAD=60°，则线段EF长度的最小值为　 　．
15．已知，则．
16．如图，已知，，，，点在所在直线上运动，以为边作等边三角形．在点运动过程中，的最小值　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．
（1）计算：.
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0.
18．已知一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值．
19． 有一矩形纸片，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为；
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的长．
20．下图统计的是一个路口某时段来往车辆的车速情况，请运用你所学的统计知识，写一份简短的报告，让交警知道在这个时段，该路口来往车辆的车速情况(如最大车速，车速数据的中位数、众数、平均数等)，并对数据作一个简要分析．
21．实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如题图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求反比例函数的表达式和直线的表达式；
（2）数学老师想在课上讲解一道综合题，希望学生注意力指标不低于40，那么这位老师最多可以讲多少分钟？
22．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”例如：当m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 是函数y＝的“1倍点”；
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
23．（1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图，两条相等的线段，交于点，，连接，，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题．
证明：过点作且使，连接，
四边形为平行四边形，则 ，
，
又，
为等边三角形，
，
，即．
请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
（2）类比运用：如图，与相交于点，，，，，，求线段的长；
（3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为，，．三条中线的交点为．若的面积为，则以，，的长度为三边长的三角形的面积等于 (请直接写出答案)．
24．如图 1， 在平行四边形 中， ， 点 分别为边 上的动点 (不与顶点重合)， 且 ， 连结 ， 将四边形 沿着 折叠得到四边形 .
（1） 连结 交 于点 ， 连结 .
①求证： .
②若 ， 求 的长.
（2） 若点 落在平行四边形 的边上， 请直接写出 所有可能的值.
答案解析部分
1．D
2．B
3．B
解：∵，
∴，
由表中数据得当时，；
当时，
所以方程的解为．
故答案为：B．
首先将方程-ax2+bx+2=0移项变形为-ax2+bx=-2，求方程-ax2+bx=-2的解，就是求使式子-ax2+bx的值为-2的x的值，观察表格即可得出答案.
4．D
解：A、在中，当时，，则点在它的图象上，故A不符合题意；
B、在中，，则它的图象在第二、四象限，故B不符合题意；
C、在中，，则当时，y随x的增大而增大，故C不符合题意；
D、在中，，则当时，y随x的增大而增大，故D符合题意；
故答案为：D．
根据反比例函数点的坐标特征可判断选项A正确；根据反比例函数象限的分布情况以及增减性：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，可判断选项B、C正确，D错误.
5．A
6．C
7．A
8．B
9．C
解：、
、
故答案为：C.
先分别求出甲乙两队学生的平均值，再分别求出两队的方差再进行比较即可.
10．A
解：由折叠的性质可知：，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
解得：．
∴．
故答案为：A ．
根据折叠的性质可得，，然后利用含的直角三角形的性质和勾股定理求出x值即可．
11．
12．
13．
14．
解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠CAB=∠DAB=30°，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∵AB=8，
∴OB=AB=4，OA==4，
∴S△ABO=OA OB=AB OP，
∴OP=，
∴EF的最小值为2，
故答案为：．
先求出当OP⊥AB时，OP最小，再利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
15．
16．
解：以为边作正，并作，垂足为点，连接、，如图所示：
在中，，，，
∴，，
∴，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴，
∴最小即是最小，
∵当时，最小，此时，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值是.
故答案为：.
以为边作正，并作，垂足为点，连接、，先利用“SAS”证出，可得，再证出当时，最小，再利用矩形的性质求出，即可得到的最小值是.
17．（1）解：原式＝×2﹣2
＝﹣2
＝﹣；
（2）解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x﹣1+5＝5，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝，
∴x＝2+或x＝2﹣．
（1）根据二次根式的性质化简第一个二次根式，根据二次根式的乘法法则计算减数，进而再合并同类二次根式即可；
（2）首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x-2)2=5，接下来利用直接开平方法进行计算.
18．（1）解：由一元二次方程有两个不相等的实数根，得
，解得
（2）解：由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程，得，
解得，，一元二次方程与有一个相同的根，
当时，把代入，得，解得，
当时，把代入，得，解得，
综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，或．
（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）先求出方程的根，再分别代入求出m的值即可.
19．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
即的长为5．
（1）利用矩形的性质和平行线的性质可推出∠BEF=∠DFE，利用折叠的性质可推出∠DFE=∠DEF，据此可证得结论.
（2）利用矩形的性质可证得∠A=90°，利用折叠的性质可知DE=BE，设DE=BE=x，可表示出AE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE的长.
20．解：在这个时段，该路口来往车辆的数量为（辆），
因为52出现的次数最多，
所以车速数据的众数为52，
因为将这组数据从小到大排序后，第14个数即为中位数，
所以车速数据的中位数为52，
平均数为，
报告：由图可知，这个时段，该路口来往车辆的最低车速是，最高车速是，大部分车辆车速是．
根据图表，利用中位数（把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数）、平均数（是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数）、众数（出现次数最多的数据）得出关键信息即可.
21．（1），；
（2）张老师最多可以讲14.5分钟．
22．（1）和
（2）0，8
（3）1，2
23．（1），，；（2）；（3）
24．（1）解：①在 中，
②解：过 作 于
在 Rt 中，
连接 交 于
由折叠可知
又
是 ' 的中位线
是 的中垂线
（2）解：①如图：当C‘在BC边上时，过D作DG⊥BC
由折叠可知EF⊥BC，DG⊥BC，C'C=2CF
∴EF∥DG
∵AD∥BC
∴四边形EFGD为平行四边形
∴EF=DG
由（1）知：DG=CG=4
∴OF=
∴
∴CF=BC-BF=7-=1.5
∴C'C=2CF=3
②如图：当C'在AB上时，设C'C与EF交于点H，连接AC
由折叠可知EF⊥C'C，CH=C'H
∵BO = DO
∴OH∥AB，即：EF∥AB
∴CC'⊥AB
∵∠ABC=45°
∴△BCC'是等腰直角三角形
∴CC'=
③当点C’与点A重合时，过A作AH⊥BC于H
∵∠ABC =45°
∴△ABH是等腰直角三角形
∴AH=BH =4
∴CH=BC-BH=3
在Rt△ACH中
综上所述： 或 5 或 .
（1）根据平行四边形的性质：AD=BC，，又因为：AE=CF，得出：DE=BF，因此，得到OB=OD
（2）过 作 于 ，根据平行四边形的性质：得出：，即：△DCH为等腰直角三角形，因为DC=，得出CH=DH=4，在直角三角形BDH中，根据勾股定理：计算出BD的长，又折叠可知： 根据中位线性质得出：，得出 是 的中垂线，即可得出：
（3）本题需要分类讨论：
当C‘在BC边上时，过D作DG⊥BC，由折叠可知EF⊥BC，DG⊥BC，C'C=2CF，得出：四边形EFGD为平行四边形，故EF=DG，这样OF=2，再根据勾股定理：，计算出BF，算出CF，再乘以2即可
当C'在AB上时，设C'C与EF交于点H，连接AC，由折叠可知EF⊥C'C，CH=C'H，得出OH是△AC'C的中位线，得出：EF∥AB，因此：CC'⊥AB，即：△BCC'是等腰直角三角形，故可以计算出：CC'=
当点C’与点A重合时，过A作AH⊥BC于H，得出：△ABH是等腰直角三角形，即：AH=BH =4，再根据勾股定理：，计算CC'即可.

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