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2024-2025学年八年级下册期末测试卷（宁波市专用）
数 学
考试范围：八下全册 考试时间：100分钟 分值：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分． 每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　）
A． B． C．1 D．
2．若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C．且 D．
3．如图，在正方形ABCD中，向内作四个全等的三角形，其中．以DG，CG为邻边作．若点B，F，G在同一直线上，，点到CD的距离为1，则图中阴影面积为（　　）
A．6 B．9 C．15 D．18
4．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，，且，，经过中点O分别交、于点 M、N，连接、，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形为平行四边形
B．当时，四边形为矩形
C．当时，四边形为菱形
D．四边形不可能为正方形
6．关于的一元二次方程配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．关于的方程有两个相等的实数根．在中，，，则边上的中线长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
9．如图，G是直线EF上的一点，已知 ABCD与 CDEF的面积分别为24cm2、36cm2，则△ABG的面积为（　　）
A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．48cm2
10．如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点C作于点G，交于点H，过点B作于点I，过点D作，交延长线于点K，交于点L.若，，则的长为（　　）
A．6 B． C．7 D．
二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分)
11．已知 ，则　 　．
12．如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长是　 　．
13．当时，　 　．
14．若m2-3m+1=0，则2-m- 的值为　 　 ．
15．已知a，b是关于x的一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则（a-2）2-a（1-b）的值为　 　.
16．中，为边上的中线，N为的中点，M为上一动点，的最小值　 　
三、解答题(本题有8小题,第17-19题每题6分,20-21题每题8分,22-23题每题10分,24题12分,共66分)
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程
（1）；
（2）．
19．（1）已知两条对角线a，b，利用尺规作一个菱形.(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）如图，在中，为对角线，过点D作的平行线与的延长线交于点E.
①求证：.
②若，求证：四边形是菱形.
20．如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？
21．如图，已知点、在 的对角线上，且于点，．
求证：
（1）≌；
（2）四边形为矩形．
22．【阅读理解】
的整数部分是2，则的小数部分可以表示为．
【问题解决】
（1）若，且a是整数，则a的值是______；
（2）已知的小数部分是m，的小数部分是n，且，求x的值．
23．某学习小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求二次三项式的最值；他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
关于最值问题的探究
素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程
转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了
素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：，再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1 感受新知：用判别式法求的最小值．
任务2 探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，将代入原式得___将新得到的等式看作关于字母___ 的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为___．
任务3 应用新知：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时的值．
24．如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点C坐标为，点A在x轴上，，．动点P从点O出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）的长为　 　，的长为　 　；
（2）当t为何值时，线段恰好被平分？
（3）如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （直接写出答案）．
答案解析部分
1．C
解：，
最简二次根式与可以合并，
最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
故答案为：C．
先将化简为最简 根式，再根据同类二次根式的定义，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
2．C
3．C
4．B
解：∵x+y＝﹣5，xy＝4 ，∴x<0，y<，则原式=，在把x+y＝﹣5，xy＝4 代入即可算出结果为，B正确。
故答案为：B。
先根据题目条件，判断出x和y均小于零，在对所求式子进行化简，最后代入求解即可。
5．B
6．C
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
先把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
解：
，
故选C
7．D
8．C
9．B
解：∵四边形ABCD与四边形CDEF都是平行四边形，
∴EF∥CD，CD∥AB，AB=CD，
∴EF∥AB，
设CD与EF之间的距离为h1，CD与AB之间的距离为h2，
∴EF与AB之间的距离为h1+h2，
∵S平行四边形ABCD=AB×h2=24cm2，S平行四边形CDEF=CD×h1=36cm2，
∴S△ABG=cm2.
故答案为：B.
由平行四边形的对边平行且相等得EF∥CD，CD∥AB，AB=CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB，设CD与EF之间的距离为h1，CD与AB之间的距离为h2，EF与AB之间的距离为h1+h2，进而根据平行四边形的面积公式可得AB×h2=24cm2，CD×h1=36cm2，由三角形面积公式得S△ABG=，然后整体代入计算可得答案.
10．D
解：如图，过点A作于点M，连接，，
根据题意得：，
∴，，
设，
∵，，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
同理四边形和均是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
同理四边形是正方形，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
即，
解得：或0（舍去），
∴，
∴.
故答案为：D.
过点A作AM⊥BI于点M，连接AC、BD，根据HL证明△BCE≌△DAF，得到∠E=∠F=90°，DF=BE，AF=CE，∠DAF=∠BCE，设DF=BE=a，AF=CE=b，易得四边形ABCD为正方形，则∠CAD=∠ACB=45°，CD=BC，∠DCB=90°，进而推出四边形DFGL、CEBI、CEKL均为矩形，得到∠DLC=∠BIC=90°，CI=BE，利用AAS证明△DCL≌△CBI，得到DL=DF，推出四边形DFGL、CEKL为正方形，则CL=CE=AF=BI=b，AG=b-a，CG=a+b，DK=a+b，GI=b，根据S四边形ABIG=2S△BCE可得b=a，由平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AGH∽△DLH，根据相似三角形的性质可得a、b的值，进而可得DK.
11．
解：由题知，，
则，，
解得，，
故，
代入原式可得，，
化简得，
故，
故答案为：1．
根据二次根式的被开方数不能为负数列出关于x的不等式组，求解得出x的值，代入原式可得y的值，将待求式子按积的乘方运算法则的逆用变形后，将x、y的值代入计算即可．
12．
13．
解：∵a<-1，
∴a+1<0，
∴.
故答案为：.
根据a<-1，得到a+1<0，再根据二次根式的性质化简即可得到答案.
14．-1
解：∵ m2-3m+1=0，
∴m-3+=0
∴m+=3
∴2-m- =2-（m+） =2-3=-1
故答案为：-1
将方程两边同时除以m，可得到m+=3，再将原代数式转化为2-（m+），然后整体代入求值。
15．4
16．
17．（1）
（2）
18．（1），
（2），
19．（1）解：如图，菱形即为所求.
（2）解：①证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴.
在和中，
，
∴.
②证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形.
∵，
∴，
∴四边形是菱形.
（1）先作一条线段，然后作线段的垂直平分线，交于点O，在的垂直平分线上截取，进而连接、、、即可求解；
（2）①根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
②根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行公理及其推论得到，从而根据平行四边形的判定结合菱形的判定即可求解。
20．这个仓库的长和宽分别为14米、10米
21．（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌．
（2）证明：由得≌，
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
于点，
，
四边形为矩形．
（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，利用平行线的性质可得，根据ASA证明△ABE≌△CDF即可；
（2）先证四边形为平行四边形，由垂直的定义可得∠AEC=90°，根据矩形的判定即证结论.
22．（1）4；（2）或.
23．任务1：的最小值为；任务2：；；；任务3：
24．（1）4；8
（2）解： 运动时间为t（），由题意，得，，
如图，过Q作交于N，设与交于M，如图2，
线段被平分，
，
四边形为平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
∴当t为4秒时，线段恰好被平分；
（3）或
（1）解：过C作于E，如图1，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4，8；
（3）解：在中，，
，
，
，，
，
，
过P作于F，则，如图1，
，
，
，
，
，
D在y轴上，
，
当为平行四边形对角线时，如图所示，
平行四边形中，，，
，
，
，
，
；
当为平行四边形对角线时，如图所示，
平行四边形中，，，
，
，
，
，
；
综上，点D的坐标为或.
故答案为：或.
（1）过C作CE⊥OA于点E，由点C的坐标可得OE=2，由直角三角形量锐角互余得∠OCE=∠OAC=30°，从而根据含30°角直角三角形的性质可求出OC及OA的长；
（2）过Q作交于N，设与交于M，由平行四边形的对边平行得CN∥OQ，从而可由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形OCNQ是平行四边形，由平行四边形的对边相等得OC=QN=4，可用ASA判断出△CMP≌△NMQ，由全等三角形的对应边相等得PCNQ=4，然后根据OC+PC=OP建立方程，求解即可；
（3）首先求出点C，用含t的式子表示出Q的坐标，过P作PF⊥OA于F，根据含30°角直角三角形的性质可用含t的式子表示出P点坐标，根据y轴上点的坐标特点，设出点D的坐标；分PC为平行四边形对角线，CQ为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解．
（1）解：过C作于E，如图1，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
（2）解： 运动时间为t（），
由题意，得，，
如图，过Q作交于N，设与交于M，如图2，
线段被平分，
，
四边形为平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
∴当t为4秒时，线段恰好被平分；
（3）解：在中，，
，
，
，，
，
，
过P作于F，则，如图1，
，
，
，
，
，
D在y轴上，
，
当为平行四边形对角线时，如图所示，
平行四边形中，，，
，
，
，
，
；
当为平行四边形对角线时，如图所示，
平行四边形中，，，
，
，
，
，
；
综上，点D的坐标为或

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