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2025届高考数学模拟预测卷（全国甲卷）
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 未央区校级月考）从集合{﹣1，0，1，2}中任取两个不同的数a，b组成复数a+bi，其中虚数有（　　）
A．4个 B．9个 C．12个 D．16个
2．（2022秋 栖霞区校级月考）已知，则该椭圆的标准方程为（　　）
A．
B．或
C．
D．或
3．（2024 新会区校级模拟）已知向量，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 北仑区期中）双曲线6x2﹣3y2＝1的渐近线方程为（　　）
A．x＝±2y B．y＝±2x C． D．
5．（2023秋 天津期末）直线l1：mx+y+m＝0与圆C：（x+3）2+y2＝9交于A、B两点，点E为AB中点，直线l2：3x+4y﹣12＝0与两坐标轴分别交于P、Q两点，则△EPQ面积的最大值为（　　）
A． B．9 C．10 D．
6．将4不同的球随机放入5个不同的杯子中，则杯子中球的个数最多为一个的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 张家口模拟）若，则（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
8．（2024秋 辽宁月考）不等式（x2﹣ax﹣1）（x﹣b）≥0对任意x＞0恒成立，则a2+b2的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2023秋 启东市校级月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0，若对于任意正整数n，Sn≥S2022，则（　　）
A．a1＞0 B．d＞0 C．a2022＝0 D．S4045≥0
（多选）10．（2022春 鼓楼区校级月考）已知P是圆O：x2+y2＝4上的动点，直线l1：xcosθ+ysinθ＝2与l2：xsinθ﹣ycosθ＝1相交于点Q，则（　　）
A．l1⊥l2
B．直线l1与圆O相切
C．直线l2与圆O相交弦的长度为1
D．|PQ|的最大值为6
（多选）11．（2025 南岗区校级一模）已知函数y＝f（2x+1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x+1）的图象关于直线x＝1对称，则下列说法正确的为（　　）
A．4是f（x）的一个周期 B．f（x）是偶函数
C． D．f（1+x）+f（1﹣x）＝0
三．填空题（共3小题）
12．（2022秋 河北区校级期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（4，0），则p的值为 　 　 ．
13．（2022秋 白银区校级月考）平面向量满足，则的最大值为 　 　 ．
14．（2022 西青区校级开学）已知函数（a＞0且a≠1）在R上单调递增，则实数a的取值范围是 　 　 ，若关于x的方程|f（x）|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 高邮市月考）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 24 30
喜欢阅读纸质书 12
总计 60
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
（2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（χ2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.005
χ0 2.706 3.841 6.635 7.879
16．（2022春 皇姑区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（2b﹣a）cosC＝ccosA．
（1）求角C的大小；
（2）若，且____，求△ABC的周长．
请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答．
①；
②△ABC的面积为；
③．
17．（2024秋 宁强县期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB1⊥A1C，AB⊥BC，AB＝BC＝2．
（1）求证：AB1⊥平面A1BC；
（2）设点P满足，若平面ABP与平面BCP的夹角为，求实数λ．
18．（2023春 普陀区校级期中）对于函数y＝f（x），分别在x∈N，x≥1处作函数y＝f（x）的切线，记切线与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0）...（xn，0），记xn为数列{xn}的第n项，则称数列{xn}为函数y＝f（x）的“切线﹣x轴数列”，同理记切线与y轴的交点分别为（0，y1），（0，y2）...（0，yn），记yn为数列{yn}的第n项，则称数列{yn}为函数y＝f（x）的“切线﹣y轴数列”
（1）设函数f（x）＝cosπx+x，记f（x）“切线﹣x轴数列”为{an}，记Sn为{an}的前n项和，求Sn；
（2）设函数，记g（x）“切线﹣y轴数列”为{bn}，猜想{bn}的通项公式并证明你的结论；
（3）设复数z（x）＝ax+bi，a，b均为不为0的实数，记为z的共轭复数，设h（x），记h（x）“切线﹣y轴数列”为{cn}，求证：对于任意的不为0的实数a，总有成立．
19．（2024秋 湖南月考）已知定义域为R的两个函数f（x）与g（x）满足f（x）+g（x）＝e﹣x，f（x）﹣g（x）＝﹣ex．
（1）若有且仅有两个整数使关于x的不等式ln[g（a2x2）﹣f（a2x2）]≤（x+1）2成立，求实数a的取值范围；
（2）求函数h（x）＝f（x）﹣g（2x）的极值；
（3）若x∈R，判断f（x）+2xg（x）的符号，并说明理由．
2025届高考数学模拟预测卷（全国甲卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 未央区校级月考）从集合{﹣1，0，1，2}中任取两个不同的数a，b组成复数a+bi，其中虚数有（　　）
A．4个 B．9个 C．12个 D．16个
【考点】复数的实部与虚部．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可求得结果．
【解答】解：设复数a+bi表示虚数，则b≠0；
从{﹣1，1，2}中任取一个数作为b，共有3种选法；
再从剩余的三个数任取一个作为a，共有3种选法，
因此从集合{﹣1，0，1，2}中任取两个不同的数a，b组成复数a+bi，其中虚数有3×3＝9种．
故选：B．
【点评】本题考查虚数的定义，考查排列组合的应用，是基础题．
2．（2022秋 栖霞区校级月考）已知，则该椭圆的标准方程为（　　）
A．
B．或
C．
D．或
【考点】根据abc及其关系式求椭圆的标准方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合椭圆性质即可求解．
【解答】解：因为a2＝13，c2＝12，a2＝b2+c2，所以b2＝1
所当焦点在x轴时，椭圆的标准方程为，
当焦点在y轴时，椭圆方程为．
故选：D．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，属于基础题．
3．（2024 新会区校级模拟）已知向量，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】先求出的坐标，然后利用投影向量的公式求解即可．
【解答】解：，
则，
故在上的投影向量为．
故选：D．
【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
4．（2024秋 北仑区期中）双曲线6x2﹣3y2＝1的渐近线方程为（　　）
A．x＝±2y B．y＝±2x C． D．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】化双曲线方程为标准方程，求出a与b的值，则答案可求．
【解答】解：由6x2﹣3y2＝1，得，
则，，即，b．
∴双曲线6x2﹣3y2＝1的渐近线方程为y＝±x．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2023秋 天津期末）直线l1：mx+y+m＝0与圆C：（x+3）2+y2＝9交于A、B两点，点E为AB中点，直线l2：3x+4y﹣12＝0与两坐标轴分别交于P、Q两点，则△EPQ面积的最大值为（　　）
A． B．9 C．10 D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；换元法；直线与圆；不等式；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】联立直线l1的方程与圆的方程，可得两根之和，进而可得AB的中点E的坐标，求出E到直线l2的距离d的表达式，换元，分类讨论，可得d的最大值，由直线l2的方程，可得P，Q的坐标，进而求出|PQ|的值，代入三角形的面积公式，当d最大时，可得△EPQ面积的最大值．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得：（1+m2）x2+（6+2m2）x+m2＝0，
可得x1+x2，y1+y2＝﹣m（x1+x2+2）＝﹣m ，
所以AB的中点E（，），
直线l2：3x+4y﹣12＝0上，令x＝0，可得y＝3；令y＝0，x＝4，
由题意设P（4，0），Q（0，3），所以|PQ|5，
E到直线l2的距离d （15），
所以当E到直线l2的距离最大时，△EPQ的面积最大，
令t＝﹣8m+6，t≤0时，显然d小于t＞0时的值，所以只需讨论t＞0时即可，
可得m，
所以，
令f（t）＝t12，因为t＞0时，t12≥212＝8，当且仅当t，即t＝10时，f（t）min＝8，
所以dmax（15+8），
所以S△EPQ|PQ| d5，即此时△EPQ的面积最大值为．
即△EPQ面积最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的综合应用，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，换元法的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
6．将4不同的球随机放入5个不同的杯子中，则杯子中球的个数最多为一个的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据古典概型公式列式计算即可．
【解答】解：杯子中球的个数最多为一个的概率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
7．（2025 张家口模拟）若，则（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，由正切的和差角公式即可得tanα，再将原式化为关于正切的齐次式，即可得到结果．
【解答】解：因为，
所以可得tanα＝2，
所以
＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
8．（2024秋 辽宁月考）不等式（x2﹣ax﹣1）（x﹣b）≥0对任意x＞0恒成立，则a2+b2的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】不等式恒成立的问题．
【专题】函数思想；定义法；不等式；逻辑思维．
【答案】A
【分析】先由题意得到x＝b是x2﹣ax﹣1＝0的一个根，从而得到a，b之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可．
【解答】解：根据题意可得，要满足x＝b是x2﹣ax﹣1＝0的一个实数根，
因此b2﹣ab﹣1＝0，b＞0，所以可得，
因此，
当且仅当，时等号成立．
所以a2+b2的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2023秋 启东市校级月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0，若对于任意正整数n，Sn≥S2022，则（　　）
A．a1＞0 B．d＞0 C．a2022＝0 D．S4045≥0
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据题意可得S2022是前n项和Sn的最小值，由此出发，利用等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和公式，对各项的结论依次加以验证，即可得到本题的答案．
【解答】解：因为对于任意正整数n，Sn≥S2022，所以S2022是前n项和Sn的最小值．
若a1≥0，则当d＞0时，S1是Sn的最小值，不符合题意；
当d＜0时，an的值随着n的增大而减小，Sn不存在最小值，也不符合题意．
综上所述，a1≥0不成立，a1＞0也不可能成立，故A项不正确；
因此，a1＜0，且当n≤2022时，an≤0；当n≥2023时，an≥0．
结合公差d≠0，可得{an}的公差d＞0，故B项正确；
由a2022≤0，可知a2022＝0不一定成立，故C项不正确；
因为a2023≥0，所以S40454045a2023≥0，故D项正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查等差数列的定义与通项公式、等差数列的前n项和公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）10．（2022春 鼓楼区校级月考）已知P是圆O：x2+y2＝4上的动点，直线l1：xcosθ+ysinθ＝2与l2：xsinθ﹣ycosθ＝1相交于点Q，则（　　）
A．l1⊥l2
B．直线l1与圆O相切
C．直线l2与圆O相交弦的长度为1
D．|PQ|的最大值为6
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AB
【分析】利用直线与圆的有关知识，逐项计算判断即可．
【解答】解：cosθ sinθ+sinθ（﹣cosθ）＝0，∴l1⊥l2，故A正确；
圆心O到l1的距离d2，∴直线l1与圆O相切，故B正确；
圆心O到l2的距离d1，∴直线l2与圆O相交，弦长为：22，故C错误；
因为直线l1：xcosθ+ysinθ＝2与l2：xsinθ﹣ycosθ＝1垂直，如图，
所以，|PQ|的最大值为：22，故D错误；
故选：AB．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力，属中档题．
（多选）11．（2025 南岗区校级一模）已知函数y＝f（2x+1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x+1）的图象关于直线x＝1对称，则下列说法正确的为（　　）
A．4是f（x）的一个周期 B．f（x）是偶函数
C． D．f（1+x）+f（1﹣x）＝0
【考点】奇偶函数图象的对称性；抽象函数的周期性．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由已知可得f（x）关于点（3，0）对称，关于直线x＝2对称，结合对称轴和对称中心可得周期，即可判断A；根据函数奇偶性的定义即可判断B；由f（2+x）＝﹣f（x），令x为x﹣1即可判断D；结合函数的周期性即可判断D．
【解答】解：已知函数y＝f（2x+1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x+1）的图象关于直线x＝1对称，
所以f（2x+1）+f[2（2﹣x）+1]＝0，即f（2x+1）+f（5﹣2x）＝0，
用x代换上式中的2x可得f（x+1）+f（5﹣x）＝0，所以f（x）关于点（3，0）对称，
又因为函数y＝f（x+1）的图象关于直线x＝1对称，
所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，即f（x+1）＝f（3﹣x），
又f（x+1）+f（5﹣x）＝0，
所以f（3﹣x）+f（5﹣x）＝0，所以f[3﹣（3﹣x）]+f[5﹣（3﹣x）]＝0，
所以f（2+x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），
所以函数f（x）的周期为4，故A正确；
因为f（x）＝﹣f（2+x），所以f（﹣x）＝﹣f（2﹣x），
因为函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（x+2）＝f（2﹣x），
所以f（x）＝f（﹣x），所以f（x）是偶函数，故B正确；
因为f（x）关于点（3，0）对称，f（2）+f（4）＝0，
因为f（2+x）＝﹣f（x），令x＝1可得f（1）＝﹣f（3），
又f（x）关于直线x＝2对称，所以f（1）＝f（3）＝0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，
所以，故C不正确，
因为f（2+x）＝﹣f（x），所以f（1+x）＝﹣f（x﹣1），
即f（1+x）+f（1﹣x）＝0，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查函数对称性，奇偶性相关知识，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
12．（2022秋 河北区校级期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（4，0），则p的值为 　8　 ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】8．
【分析】根据抛物线的焦点即可得解．
【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（4，0），所以，即p＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
13．（2022秋 白银区校级月考）平面向量满足，则的最大值为 　3　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】首先通过及||＝1、||＝2求得||，然后根据与共线可求得的最大值．
【解答】解：∵，∴，
则（当且仅当与同向时取等号）．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．
14．（2022 西青区校级开学）已知函数（a＞0且a≠1）在R上单调递增，则实数a的取值范围是 　[，1）　 ，若关于x的方程|f（x）|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 　[，]∪{}　 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解．
【答案】[，1）；[，]∪{}．
【分析】由题意可知f（x）在两段上均为增函数，且f（x）在（0，+∞）上大于或等于f（0），作出y＝|f（x）|和y＝x+3的图象，根据交点个数判断4a与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．
【解答】解：f（x）是R上的单调递增函数，
y＝1+loga|x﹣1|在（﹣∞0]上单调递增，
可得0＜a＜1，
且0+4a≥1+0，即1＞a，
作出y＝|f（x）|和y＝x+3的函数草图如图所示：
由图象可知|f（x）|＝x+3在（0，+∞）上有且只有一解，
可得4a≤3，或x2+4a＝x+3在（0，+∞）上有且只有一解，即有Δ＝1﹣4（4a﹣3）＝0，
即有a或a；
由1+loga|x﹣1|＝0，解得x＝13，即x≤0时，有且只有一解．
则a的范围是[，]∪{}．
故选答案为：[，1）；[，]∪{}．
【点评】本题考查了分段函数的性质、数形结合思想、转化思想，作出函数的图象是解答本题的关键，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 高邮市月考）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 24 30
喜欢阅读纸质书 12
总计 60
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
（2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（χ2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.005
χ0 2.706 3.841 6.635 7.879
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）2×2的列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 6 24 30
喜欢阅读纸质书 12 18 30
总计 18 42 60
有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
（2）X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）．
【分析】（1）完善2×2的列联表并计算χ2的值，即可得出结论；
（2）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求得对应概率可得出其分布列及其期望值．
【解答】解：（1）根据题意，可得如下的2×2的列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 6 24 30
喜欢阅读纸质书 12 18 30
总计 18 42 60
零假设H0：喜欢阅读电子书与年龄无关，
则，
依据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，
所以有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
（2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名，
所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
16．（2022春 皇姑区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（2b﹣a）cosC＝ccosA．
（1）求角C的大小；
（2）若，且____，求△ABC的周长．
请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答．
①；
②△ABC的面积为；
③．
【考点】解三角形；平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；运算求解；结构不良题．
【答案】（1）；
（2）4+2．
【分析】（1）由已知可得（2sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，进而可求cosC，可求C；
（2）由正弦定理可得a＝4sinA，b＝4sinB，若选①，②，③可得，进而由余弦定理可得a+b的值，可求周长．
【解答】解：（1）由（2b﹣a）cosC＝ccosA，结合正弦定理可得（2sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，
可得2sinBcosC＝sin（A+C）＝sinB．
而在△ABC中，sinB≠0．所以，∵C∈（0，π），则．
（2）由（1）结合正弦定理可得，；所以a＝4sinA，b＝4sinB，
若选①，即，则；若选②，即，则；
若选③，即，则，所以；
均可得．
在△ABC中，由余弦定理可得：c2＝（a+b）2﹣2ab﹣2abcos60°＝（a+b）2﹣4，
所以（a+b）2＝16，解得：a+b＝4或a+b＝﹣4（舍去），
所以△ABC的周长为．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．
17．（2024秋 宁强县期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB1⊥A1C，AB⊥BC，AB＝BC＝2．
（1）求证：AB1⊥平面A1BC；
（2）设点P满足，若平面ABP与平面BCP的夹角为，求实数λ．
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直．
【专题】数形结合；向量法；综合法；立体几何；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意由线面垂直求出AA1⊥BC，再利用线面垂直即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面ABP和平面BCP的法向量，再利用空间向量法求出面面夹角，从而可求解．
【解答】解：（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴AA1⊥BC．
又∵AB⊥BC，且AB，AA1 平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面ABB1A1．
∵AB1 平面ABB1A1，∴BC⊥AB1．
又∵AB1⊥A1C，BC∩A1C＝C，BC，A1C 平面A1BC，
∴AB1⊥平面A1BC．
（2）由（1）知AB1⊥A1B，∴四边形ABB1A1为正方形，即AA1＝AB＝2，且有，
以点A为原点，以AC，AA1所在直线分别为y，z轴，以过A点和平面ACC1A1垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则，∴．
∵，∴，
∴．
设平面PAB的一个法向量为，由得：
，取x＝1，则y＝﹣1，，
∴．
由（1）知AB1⊥平面A1BC，∴平面CPB的一个法向量为，
∴，解得．
所以．
【点评】本题考查线面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题．
18．（2023春 普陀区校级期中）对于函数y＝f（x），分别在x∈N，x≥1处作函数y＝f（x）的切线，记切线与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0）...（xn，0），记xn为数列{xn}的第n项，则称数列{xn}为函数y＝f（x）的“切线﹣x轴数列”，同理记切线与y轴的交点分别为（0，y1），（0，y2）...（0，yn），记yn为数列{yn}的第n项，则称数列{yn}为函数y＝f（x）的“切线﹣y轴数列”
（1）设函数f（x）＝cosπx+x，记f（x）“切线﹣x轴数列”为{an}，记Sn为{an}的前n项和，求Sn；
（2）设函数，记g（x）“切线﹣y轴数列”为{bn}，猜想{bn}的通项公式并证明你的结论；
（3）设复数z（x）＝ax+bi，a，b均为不为0的实数，记为z的共轭复数，设h（x），记h（x）“切线﹣y轴数列”为{cn}，求证：对于任意的不为0的实数a，总有成立．
【考点】数列与函数的综合；数列的应用；数列的求和．
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】（1）当n是正奇数时，Sn＝1；当n是正偶数时，Sn＝0；
（2）；
（3）证明见解析．
【分析】（1）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据f（x）“切线﹣x轴数列”的定义即可求出数列{an}的通项公式，进一步分类讨论即可求其前n项和．
（2）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据g（x）“切线﹣y轴数列”的定义即可求出数列{bn}的通项公式．
（3）由复数的概念、运算先表示出h（x），再求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据h（x）“切线﹣y轴数列”的定义即可求出数列{cn}的通项公式，结合z的定义以及模即可得证．
【解答】解：（1）由题意f（x）＝cosπx+x，则f′（x）＝﹣πsinπx+1，设切点为（n，cosnπ+n），n∈N*，
则过切点的切线为y﹣（cosnπ+n）＝（﹣πsinnπ+1）（x﹣n），
令y＝0，整理得an＝﹣cosnπ，
当n是正奇数时，an＝1；当n是正偶数时，an＝﹣1；
所以当n是正奇数时，Sn＝1﹣1+1﹣1+ +1﹣1+1＝1；当n是正偶数时，Sn＝1﹣1+1﹣1+ +1﹣1＝0．
（2）猜想{bn}的通项公式为，证明过程如下：
由题意，则，设切点为，
则过切点的切线为，
令x＝0，整理得．
（3）证明：由题意z（x）＝ax+bi，则h（x），
所以，
设切点为，
则过切点的切线为，
令x＝0，整理得．
【点评】本题考查函数与数列的综合，以及导数的运用：求切线方程，解决问题的关键是读懂新定义的数列，然后具体会求切线方程进行运算转换即可，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 湖南月考）已知定义域为R的两个函数f（x）与g（x）满足f（x）+g（x）＝e﹣x，f（x）﹣g（x）＝﹣ex．
（1）若有且仅有两个整数使关于x的不等式ln[g（a2x2）﹣f（a2x2）]≤（x+1）2成立，求实数a的取值范围；
（2）求函数h（x）＝f（x）﹣g（2x）的极值；
（3）若x∈R，判断f（x）+2xg（x）的符号，并说明理由．
【考点】利用导数求解函数的极值；函数恒成立问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）[）∪（]；
（2）函数h（x）的极大值为，无极小值；
（3）x＜0时，f（x）+2xg（x）＜0时，x＝0时，f（x）+2xg（x）＝0；x＞0时，f（x）+2xg（x）＞0，理由见解答．
【分析】（1）先求得f（x），g（x），然后化简不等式，通过构造函数，根据零点分布列不等式，由此求得a的取值范围．
（2）先求得h（x），通过求导，先求得h（x）的单调区间，进而求得h（x）的极值．
（3）先化简f（x）+2xg（x）的表达式，然后利用构造函数法，结合多次求导来判断f（x）+2xg（x）的符号．
【解答】解：（1）由f（x）+g（x）＝e﹣x，f（x）﹣g（x）＝﹣ex，
解得，，
∵，∴原不等式可化为（x+1）2≥a2x2，
即（1﹣a2）x2+2x+1≥0，若满足题意，则必有1﹣a2＜0，即a＜﹣1或a＞1，①
令φ（x）＝（1﹣a2）x2+2x+1，
由于φ（0）＝1＞0，φ（﹣1）＝﹣a2，结合①可得φ（﹣1）＜0，
∴φ（x）的一个零点在区间（﹣1，0）上，另一个零点在区间[1，2）上，
从而，即，②
由①②可得或，
即a的取值范围是[）∪（]．
（2）由题意有，
则，
而e﹣x+ex＞0，y＝1+2ex﹣2e﹣x在R上单调递增，
令y＝1+2ex﹣2e﹣x＝0，得，即，
∴h（x）在上单调递增，在上单调递减，
∴当，即时，
函数h（x）＝f（x）﹣g（2x）有极大值，无极小值．
（3）x＜0时，f（x）+2xg（x）＜0时，x＝0时，f（x）+2xg（x）＝0；x＞0时，f（x）+2xg（x）＞0，理由如下：
∵，
记p（x）＝（2x﹣1）e2x+2x+1，则p'（x）＝4xe2x+2，p″（x）＝4（2x+1）e2x，时，p″（x）＜0，时，p''（x）＞0，
∴p'（x）在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴p（x）在R上单调递增，又p（0）＝0，
∴x＜0时，f（x）+2xg（x）＜0时，x＝0时，f（x）+2xg（x）＝0；x＞0时，f（x）+2xg（x）＞0．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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