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2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅰ）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2025 广东模拟）一组数据由小到大排列为2，4，5，x，11，14，15，39，41，50，已知该组数据的40%分位数是9.5，则x的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（5分）（2023秋 鼓楼区校级期末）从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的正切值为（　　）
A． B． C． D．0
3．（5分）（2024春 东西湖区校级期中）已知数列{an}满足，且a1＝3，则a8＝（　　）
A．3 B． C． D．
4．（5分）（2024 普陀区校级开学）如图，点M，N分别是正四面体ABCD棱AB，CD上的点，设BM＝x，直线MN与直线BC所成的角为θ，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（　　）
①当ND＝2CN时，θ随着x的增大而减小
②当CN＝2ND时，θ随着x的增大而增大
A．①②都是真命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①②都是假命题
5．（5分）（2022秋 潮州期末）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与E交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|．则△AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）2021年7月1日是我国建党100周年纪念日，5名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.5名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元．若将这些照片所需的费用平摊给每名老党员，则每名老党员需要支付的照片费为（　　）
A．5元 B．6.3元 C．7.2元 D．9元
7．（5分）（2022 南京模拟）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝2km，CD＝6km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A，C之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）（2025春 观山湖区校级月考）已知函数，若不等式f（x）≥2在x∈[1，2]上恒成立，则参数a的取值范围是（　　）
A．[1，3] B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）
C． D．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，则下列集合运算正确的是（　　）
A． UA＝{x|x＜1或3＜x＜4或x＞6}
B．A∩（ UB）＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}
C．（ UA）∪B＝{x|x＜1或2＜x＜5或x＞6}
D． U（ UB）＝{x|2≤x＜5}
（多选）10．（6分）（2023秋 牡丹区校级月考）定义在R上的函数f（x）满足，且．若f′（x）＝g（x），则下列说法正确的是（　　）
A．2π为f（x）的一个周期
B．
C．若f（x）max+f（x）min＝2，则b＝1
D．f（x）在上单调递增
（多选）11．（6分）（2023秋 辽宁期末）已知数列C1：0，1，0，1，0，现在对该数列进行一种变换，规则f：每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”，得到一个新数列，记数列Ck+1＝f（ k），k＝1，2，3，…，且 n的所有项的和为Sn，则以下判断正确的是（　　）
A． n的项数为5 3n﹣1 B．S3＝22
C．C4中1的个数为68 D．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2024春 青冈县校级期中）设复数z＝（2+i）（1﹣2i），则|z|＝ 　 　 ．
13．（5分）（2023 天津模拟）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则P（A|B）＝　 　 ．
14．（5分）（2024秋 杨浦区校级期中）如图，对于一个给定的四面体A1A2A3A4，存在四个依次排列且互相平行的平面α1、α2、α3、α4，使得Ai∈αi（i＝1，2，3，4），且其中每相邻的两个平面间的距离都相等．记四面体A1A2A3A4夹在平面αi与αi+1之间的体积为Vi（i＝1，2，3）．则 　 　 ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2023春 资阳期末）中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息．某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对400个人进行了调查了解，得到如下列联表：
不经常喝茶 经常喝茶 合计
男 50 200 250
女 50 100 150
合计 100 300 400
（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？
（2）根据样本数据，在“经常喝茶”的人中按性别用分层抽样的方法抽取了6人．若从这6人中随机选择2人进行访谈，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率．
附表及公式
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，n＝a+b+c+d．
16．（15分）（2025 南沙区校级模拟）如图四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ACD是边长为2的等边三角形，且，PA＝2，点M在棱PC上．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若，求直线MB与平面PBD所成角的正弦值．
17．（15分）（2023秋 射阳县校级期末）已知函数f（x）lnx（a∈R）．
（1）讨论f（x）的极值；
（2）求f（x）在上的最大值g（a）．
18．（17分）（2025 山西模拟）在坐标平面xOy中，A1，A2分别是椭圆C：的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为．过OA1的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点．
（1）求C的方程；
（2）证明：A1D⊥A1E；
（3）直线A1D和A2E的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
19．（17分）（2025 德阳模拟）已知函数f（x），若存在实数s、t使得对 x∈R，都有f（x+2）+sf（x+1）+f（x）＝t成立，则称函数f（x）为“（s，t）函数”．
（1）f（x）＝ax2﹣2x（a≠0）是否为“（s，t）函数”？说明理由；
（2）已知f（x）≠f（x+1），若f（x）为“（s，t）函数”，请确定实数s、t的值，使得f（x）+f（x+1）是以2为周期的周期函数；
（3）已知f（x）为“（2，5）函数”，记g（x）＝e2025﹣f（n）lnx（n∈N*），若g（x）在（0，2025）上单调递减，且f（1）＝1，f（2）＝2，求n的最小值n0，并求f（1）+f（2）+ +f（n0）的值．
2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅰ）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2025 广东模拟）一组数据由小到大排列为2，4，5，x，11，14，15，39，41，50，已知该组数据的40%分位数是9.5，则x的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】百分位数．
【专题】整体思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用百分位数的求法列式求解x值．
【解答】解：该组数据共10个数，
由10×40%＝4，可知该组数据的40%分位数是第四个数与第五个数的平均数，
等于，即x＝8．
故选：C．
【点评】本题考查百分位数的求法，是基础题．
2．（5分）（2023秋 鼓楼区校级期末）从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的正切值为（　　）
A． B． C． D．0
【考点】过圆外一点的圆的切线方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】根据直线与圆位置关系，结合二倍角公式即可求解．
【解答】解：由x2﹣2x+y2﹣2y+1＝0得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
所以圆心为A（1，1），半径为r＝1，设切点分别为B，C，连接PA，则∠BPC为两切线的夹角，
由于，所以，
由二倍角公式可得，，
所以正切值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
3．（5分）（2024春 东西湖区校级期中）已知数列{an}满足，且a1＝3，则a8＝（　　）
A．3 B． C． D．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；方程思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入n＝8即可求解．
【解答】解：由题意，即，
所以数列是以为首项，﹣1为公比的等比数列，
从而，
所以，解得．
故选：D．
【点评】本题主要考查数列的递推公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
4．（5分）（2024 普陀区校级开学）如图，点M，N分别是正四面体ABCD棱AB，CD上的点，设BM＝x，直线MN与直线BC所成的角为θ，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（　　）
①当ND＝2CN时，θ随着x的增大而减小
②当CN＝2ND时，θ随着x的增大而增大
A．①②都是真命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①②都是假命题
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】根据条件，分别求出异面直线的平面角，三角形，利用余弦定理，解出三边长，利用余弦定理表示出cosθ，利用导数性质判断单调性即可．
【解答】解：当ND＝2CN时，作NF∥BC交BD于F点，如图，
∴直线MN与直线BC所成的角即直线MN与直线NF所成角，即∠MNF＝θ，
设正四面体的棱长3，则CN＝BF＝1，FN＝2，
在△MBF中，由余弦定理可得MF2＝BM2+BF2﹣2BM NF cos∠MBF＝x2+1﹣2xcos60°＝x2+1﹣x，
∴MF，同理在△BCN中，由余弦定理可得BN，
∴AN＝BN，
在△ABN中，由余弦定理可得：
cos∠ABN，化简可得MN，
在△FMN中，有cosθ（x∈[0，3]），
令f（x），则f′（x），
当x∈[0，3]时，f′（x）有正有负，函数有增有减，∴①错误；
当CN＝2ND时，作NE∥BC交BD于E点，如图，
∴直线MN与直线BC所成角即为直线MN与直线NE所成角，即∠MNE＝θ，
同样设正四面体的棱长为3，则CN＝BF＝2，FN＝2，
∴ME，AN＝BN，
在△ABN中，有cos∠ABN，
∴MN2x2﹣3x+7，即MN，
△MNE中，cosθ，x∈[0，3]，
令f（x），则0，
∴f（x）在定义域内单调递减，即x增大，f（x）减小，即cosθ减小，
从而θ增大，∴②正确．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线、余弦定理、导数性质、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5．（5分）（2022秋 潮州期末）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与E交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|．则△AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】由题意不妨设点A在第一象限，联立方程可得y2﹣4my﹣4＝0，利用韦达定理求y1，y2，即可得出答案．
【解答】解：抛物线E：y2＝4x的焦点F为（1，0），
不妨设点A在第一象限，设直线AB的方程为x＝my+1（m≥0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理得y2﹣4my﹣4＝0，
则Δ＝16（m2+1）＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
又|AF|＝3|BF|，则y1＝﹣3y2，
联立，解得，
代入y1y2＝﹣4得6m×（﹣2m）＝﹣4，解得或（不合题意，舍去），
∴，
故△AOB的面积．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6．（5分）2021年7月1日是我国建党100周年纪念日，5名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.5名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元．若将这些照片所需的费用平摊给每名老党员，则每名老党员需要支付的照片费为（　　）
A．5元 B．6.3元 C．7.2元 D．9元
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】结合相邻问题捆绑法求解．
【解答】解：5名老党员按要求照相共有36张照片，
又将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元．
若将这些照片所需的费用平摊给每名老党员，
则每名老党员需要支付的照片费为（元）．
故选：B．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
7．（5分）（2022 南京模拟）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝2km，CD＝6km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A，C之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解三角形．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长．
【解答】解：因为AB＝2，∠BEA＝30°，所以AE＝4；
因为CD＝6，∠CED＝60°，所以；
在△AEC，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．
8．（5分）（2025春 观山湖区校级月考）已知函数，若不等式f（x）≥2在x∈[1，2]上恒成立，则参数a的取值范围是（　　）
A．[1，3] B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）
C． D．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】分类讨论；函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意可得，作h（x）＝|x﹣a|和在x∈[1，2]上的图象，h（x）＝|x﹣a|的图象在图象上方，分h（x）图象在g（x）图象左右两侧两种情况讨论，结合导数的几何意义即可得解．
【解答】解：因为f（x）≥2在x∈[1，2]上恒成立，
即，x∈[1，2]，得，
令，
易知g（x）在[1，2]上单调递增，且值域为[0，1]，
作出h（x）＝|x﹣a|和在x∈[1，2]上的图象，如图所示：
由题意，h（x）＝|x﹣a|的图象在图象上方，
h（x）＝|x﹣a|随a值移动，
①当h（x）图象在g（x）图象左侧，h（x）移动到与g（x）相切时，
设h（x）＝x﹣a与相切，
因为，
设切点为（x0，x0﹣a），
则，
且由图象可得x0＞0，
所以，，
结合图象，．
②当f（x）图象在g（x）图象右侧，
若f（x）与g（x）相交于点（2，1），f（2）＝a﹣2＝1，
得a＝3，结合图象，a≥3，
综上，．
故选：D．
【点评】本题考查了函数恒成立问题、转化思想、数形结合思想及分类讨论思想，考查了导数的向何意义，属于中档题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，则下列集合运算正确的是（　　）
A． UA＝{x|x＜1或3＜x＜4或x＞6}
B．A∩（ UB）＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}
C．（ UA）∪B＝{x|x＜1或2＜x＜5或x＞6}
D． U（ UB）＝{x|2≤x＜5}
【考点】集合的交并补混合运算．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用集合的基本运算求解．
【解答】解：对于A， UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}，故A错误；
对于B，因为 UB＝{x＜2或x≥5}，A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，
所以A∩（ UB）＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}，故B正确；
对于C，因为 UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}，B＝{x|2≤x＜5}，
所以（ UA）∪B＝{x|x＜1或2≤x＜5或x≥6}，故C错误；
对于D， U（ UB）＝B＝{x|2≤x＜5}，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
（多选）10．（6分）（2023秋 牡丹区校级月考）定义在R上的函数f（x）满足，且．若f′（x）＝g（x），则下列说法正确的是（　　）
A．2π为f（x）的一个周期
B．
C．若f（x）max+f（x）min＝2，则b＝1
D．f（x）在上单调递增
【考点】抽象函数的周期性；函数的单调性；函数的周期性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据题意，选项A，只需将x进行替换，得到f（x）＝2b﹣f（x﹣π），进一步得出f（x+2π）＝f（x）；选项B，将等式两侧对应函数分别求导即可；选项C，满足，得出f（x）图象关于点中心对称，函数f（x）的最大值和最小值点也关于该点对称，求值即可；选项D，已知条件中函数f（x）没有单调性，无法做出判断，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由，
将x替换成，得，
因为，
由上面两个式子，；
将x替换成，f（x）＝2b﹣f（x﹣π），所以f（x+π）＝2b﹣f（x）；
所以f（x+2π）＝2b﹣f（x+π）＝2b﹣（2b﹣f（x））＝f（x），
所以2π为f（x）的一个周期，所以A正确；
对于B，将等式两侧对应函数分别求导，
得，即成立，所以B正确；
对于C，满足，即函数图象关于点中心对称，
函数f（x）的最大值和最小值点定存在关于点中心对称的对应关系，
所以，故b＝1，C正确；
对于D，已知条件中函数f（x）没有单调性，无法判断f（x）在上单调递增，所以D不正确；
故选：ABC．
【点评】本题考查抽象函数周期性、单调性的分析，涉及导数的应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）（2023秋 辽宁期末）已知数列C1：0，1，0，1，0，现在对该数列进行一种变换，规则f：每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”，得到一个新数列，记数列Ck+1＝f（ k），k＝1，2，3，…，且 n的所有项的和为Sn，则以下判断正确的是（　　）
A． n的项数为5 3n﹣1 B．S3＝22
C．C4中1的个数为68 D．
【考点】数列的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】ABC
【分析】设数列{ n}的项数为一个数列{an}，可得{an}为首相a1＝5，公比q＝3的等比数列，据此计算可可判断每个选面的正确性．
【解答】解：设数列{ n}的项数为一个数列{an}，因为C1中有5项，即a1＝5，
根据题意：在f作用下，每个0都变为1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”，
所以有，由此可知数列{an}为首相a1＝5，公比q＝3的等比数列，
所以{ n}的项数为，
根据变换规则，若数列的各项中，1与0的个数相同，则与之相邻的下一个数列中1与0的个数也相同；
若1比0多n个，则与之相邻的下一个数列中1比0的个数少n个；
若1比0少n个，则与之相邻的下一个数列中1比0的个数多n个；
因为C1中有5项，其中2个1，3个0，1比0少1个，所以C2的15项中，1比0的个数多1个；
以此类推，若n为奇数，则数列的各项中1比0少1个，若n为偶数，则数列的各项中1比0多1个；
根据以上分析 n的项数为5 3n﹣1，所以A正确；
C3中共有45项，其中n＝3为奇数，所以数列中有，
有45﹣22＝23个0，所以S3＝22，所以B正确；
C4中n＝4，项数为5 33＝135，n为偶数，所以1的个数为．所以C正确；
D选项，Sn+1的值与n的奇偶有关Sn，所以D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查数列的应用，数列求和问题，等比数列的定义与通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属中档题．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2024春 青冈县校级期中）设复数z＝（2+i）（1﹣2i），则|z|＝ 　5　 ．
【考点】复数的模；复数的乘法及乘方运算．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】5．
【分析】先化简复数z，再利用复数的模的公式求解．
【解答】解：z＝（2+i）（1﹣2i）＝2﹣4i+i﹣2i2＝4﹣3i，
则．
故答案为：5．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
13．（5分）（2023 天津模拟）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则P（A|B）＝　　 ．
【考点】求解条件概率．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解；时事热点类．
【答案】．
【分析】利用古典概型求出事件B的概率及事件AB的概率，再利用条件概率公式计算作答．
【解答】解：依题意，，
听以．
故答案为：．
【点评】本题考查了条件概率的计算，属于基础题．
14．（5分）（2024秋 杨浦区校级期中）如图，对于一个给定的四面体A1A2A3A4，存在四个依次排列且互相平行的平面α1、α2、α3、α4，使得Ai∈αi（i＝1，2，3，4），且其中每相邻的两个平面间的距离都相等．记四面体A1A2A3A4夹在平面αi与αi+1之间的体积为Vi（i＝1，2，3）．则 　　 ．
【考点】棱锥的体积．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】．
【分析】先作出辅助线，得到面面平行，故平面A2EG即为平面α2，平面A3FP即为平面α3，计算出，，，计算出．
【解答】解：取A1A3的中点G，A2A4的中点P，A1A4的三等分点分别为E，F，其中E靠近A1，
则A2E∥FP，EG∥A3F，又A2E 平面A3FP，FP 平面A3FP，
所以A2E∥平面A3FP，
同理EG∥平面A3FP，又EG∩A2E＝E，
所以平面A3FP∥平面A2EG，
所以A1到平面A2EG的距离，A4到平面A3FP的距离，平面A2EG与A3FP的距离都相等，
所以平面A2EG即为平面α2，平面A3FP即为平面α3，
故，，
设四面体A1A2A3A4的体积为V，
因为，，
所以点E到底面A1A2A3的距离为点A4到平面A1A2A3的距离的，
所以，同理可得，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积问题，属中档题．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2023春 资阳期末）中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息．某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对400个人进行了调查了解，得到如下列联表：
不经常喝茶 经常喝茶 合计
男 50 200 250
女 50 100 150
合计 100 300 400
（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？
（2）根据样本数据，在“经常喝茶”的人中按性别用分层抽样的方法抽取了6人．若从这6人中随机选择2人进行访谈，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率．
附表及公式
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，n＝a+b+c+d．
【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系；（2）．
【分析】（1）先计算随机变量K2的值，再根据独立性检验原理，即可求解；
（2）根据古典概型的概率公式，计算即可求解．
【解答】解：（1）根据列联表中数据可得：
8.889＞6.635，
∴有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系；
（2）∵在“经常喝茶”的人中按性别用分层抽样的方法抽取了6人，
∴由表可得这6人中男性4人，女性2人，
∴所求概率P．
【点评】本题考查独立性检验原理的应用，古典概型的概率公式的应用，属基础题．
16．（15分）（2025 南沙区校级模拟）如图四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ACD是边长为2的等边三角形，且，PA＝2，点M在棱PC上．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若，求直线MB与平面PBD所成角的正弦值．
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；平面与平面垂直．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角；运算求解；空间想象．
【答案】（1）证明过程请见解答；（2）．
【分析】（1）取AC的中点O，连接OB，OD，分别证明AC⊥BD，PA⊥BD，再由线面、面面垂直的判定定理即可得证；
（2）先说明OC，OD，OE两两垂直，再以O为原点建系，利用向量法求线面角的正弦值即可．
【解答】（1）证明：取AC的中点O，连接OB，OD，
∵AB＝BC，AD＝CD，
∴AC⊥OB，AC⊥OD，
∴O，B，D三点共线，
∴AC⊥BD，
∵PA⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA，AC 平面PAC，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD 平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）解：取CP中点E，连接OE，则OE∥PA，
∵PA⊥底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD，
∴OC，OD，OE两两垂直，
故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面PBD的法向量为，则，
令z＝1，得x＝2，y＝0，∴，
设直线MB与平面PBD所成角为θ，
则，
∴直线MB与平面PBD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定定理，以及利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17．（15分）（2023秋 射阳县校级期末）已知函数f（x）lnx（a∈R）．
（1）讨论f（x）的极值；
（2）求f（x）在上的最大值g（a）．
【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解函数的最值．
【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．
【答案】（1）f（x）的极大值为f（a）＝﹣lna，无极小值；
（2）．
【分析】（1）对f（x）求导，根据a的范围讨论单调性，求极值；
（2）根据单调性求函数在区间上的最值．
【解答】解：（1）定义域（0，+∞），，
①a≤0时，f′（x）＜0成立，所以f（x）在（0，+∞）上递减，所以f（x）无极值；
②a＞0时，当x＞a时，f′（x）＜0，当0＜x＜a时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，a）上单调递增，（a，+∞）单调递减，
所以f（x）的极大值为f（a）＝﹣lna，无极小值；
（2）时，f（x）在单调递减，所以；
时，f（x）在上单调递增，[a，e]单调递减，所以f（x）max＝f（a）＝﹣lna；
a≥e时，f（x）在单增，所以．
综上：．
【点评】本题考查导数综合应用，属于中档题．
18．（17分）（2025 山西模拟）在坐标平面xOy中，A1，A2分别是椭圆C：的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为．过OA1的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点．
（1）求C的方程；
（2）证明：A1D⊥A1E；
（3）直线A1D和A2E的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【考点】椭圆的定点及定值问题；根据椭圆的几何特征求标准方程；根据abc及其关系式求椭圆的标准方程．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）是定值，定值为3．
【分析】（1）建立关于a、b、c的方程组，即可求解椭圆C的方程；
（2）设出直线l的方程及点D、E的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理计算向量与的数量积，即可证明；
（3）表示出直线A1D和A2E的斜率比，结合韦达定理计算化简即可求解．
【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，因为C的短轴长为2，离心率为，
所以，解得a2＝3，
所以C的方程为：．
（2）证明：由椭圆方程可得，．
显然直线l的斜率不为0，则设直线l方程为：，
联立，消去x得，Δ＝3m2+9（m2+3）＝12m2+27＞0，
设D（x1，y1），E（x2，y2），则，，（*）
因为
，
所以，即A1D⊥A1E．
（3）直线A1D和A2E的斜率比值为定值，理由如下：
因为，
由（*）知，，
代入上式得，
所以直线A1D和A2E的斜率比值为定值3．
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．
19．（17分）（2025 德阳模拟）已知函数f（x），若存在实数s、t使得对 x∈R，都有f（x+2）+sf（x+1）+f（x）＝t成立，则称函数f（x）为“（s，t）函数”．
（1）f（x）＝ax2﹣2x（a≠0）是否为“（s，t）函数”？说明理由；
（2）已知f（x）≠f（x+1），若f（x）为“（s，t）函数”，请确定实数s、t的值，使得f（x）+f（x+1）是以2为周期的周期函数；
（3）已知f（x）为“（2，5）函数”，记g（x）＝e2025﹣f（n）lnx（n∈N*），若g（x）在（0，2025）上单调递减，且f（1）＝1，f（2）＝2，求n的最小值n0，并求f（1）+f（2）+ +f（n0）的值．
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】新定义；函数思想；综合法；定义法；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】（1）f（x）是“（﹣2，2a）函数”，理由见解析；
（2）s＝2，t∈R；
（3）6072．
【分析】（1）由“（s，t）函数”的定义即可判断；
（2）结合“（s，t）函数”及周期函数的定义求解即可；
（3）由题意可得，由g（x）在（0，2025）上单调递减，可得f（n）≥xex﹣2025在（0，2025）上恒成立．从而得f（n）≥2025，再由f（n）的解析式求解即可．
【解答】解：（1）f（x）是“（﹣2，2a）函数”，理由如下：
若f（x）＝ax2﹣2x（a≠0）为“（s，t）函数”，
则f（x+2）+sf（x+1）+f（x）＝t成立，
即a（x+2）2﹣2（x+2）+s[a（x+1）2﹣2（x+1）]+ax2﹣2x＝t，
整理得：（2a+sa）x2﹣（4a+2sa﹣2s﹣4）x+（4a+sa﹣2s﹣4）＝t恒成立．
所以，得s＝﹣2，t＝2a．
即f（x）＝ax2﹣2x（a≠0）是“（﹣2，2a）函数”；
（2）要使得f（x）+f（x+1）是以2为周期的周期函数．
即f（x）+f（x+1）＝f（x+2）+f（x+3）恒成立．
依题意f（x+2）+sf（x+1）+f（x）＝t成立．
用x+1替换上式中的x，
得f（x+3）+sf（x+2）+f（x+1）＝t，
所以f（x+3）+sf（x+2）﹣f（x+2）+f（x+1）﹣sf（x+1）﹣f（x）＝0，
即f（x+3）+f（x+2）+（s﹣2）[f（x+2）﹣f（x+1）]﹣f（x+1）﹣f（x）＝0，
因为f（x）≠f（x+1），故f（x+2）﹣f（x+1）≠0，
所以只要s﹣2＝0，
即s＝2，t∈R时，f（x）+f（x+1）是以2为周期的周期函数；
（3）因为f（x）为“（2，5）函数”，且f（1）≠f（2），
由（2）知f（x）+f（x+1）是以2为周期的周期函数，
且f（x+2）+2f（x+1）+f（x）＝5．
由f（1）＝1，f（2）＝2，
知f（1）+f（2）＝3，
又因为f（3）+2f（2）+f（1）＝5，
所以f（2）+f（3）＝2，f（3）+f（4）＝3，f（4）+f（5）＝2，…，
可知：，
得f（2k+3）﹣f（2k+1）＝﹣1．
即f（1），f（3），f（5），…成首项为1，公差为﹣1的等差数列；
同理f（2），f（4），f（6），…成首项为2，公差为1的等差数列；
故，
因为g（x）＝ex﹣2025﹣f（n）lnx（n∈N*），在（0，2025）上单调递减，
故，
即f（n）≥xex﹣2025在（0，2025）上恒成立．
故只要f（n）≥2025，
所以n的最小值n0＝4048，
所以f（1）+f（2）+…+f（4048）＝6072．
【点评】本题考查了“（s，t）函数”的定义及性质、等差数列的定义及通项公式，考查了导数的综合运用，属于难题．
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