资源简介

2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅱ）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023 北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），则z的共轭复数（　　）
A．1i B．1i C．﹣1i D．﹣1i
2．（5分）设p：李师傅修电脑，q：王师傅修电脑，则“由李师傅或王师傅中一人修电脑”符号化为（　　）
A．（p∧￢q）∨（￢p∧q） B．（p∨￢q）∧（￢p∨q）
C．p∨q D．p∧q
3．（5分）（2022 大武口区校级四模）在等边△ABC中，O为重心，D是OB的中点，则（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）一组数据从小到大依次为3，5，6，7，8，9，m，10，11，13，且众数为9，下列说法错误的是（　　）
A．m＝9 B．中位数为8.5
C．平均数为8 D．极差为10
5．（5分）（2022春 南岸区校级月考）已知函数，则不等式g（2x+1）＞g（3x）的解集是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）
6．（5分）如图，某水瓶可以近似看作由一个圆台和一个圆柱构成（瓶口圆柱部分忽略不计），测量得到瓶底直径为6cm，瓶口直径为2cm，圆柱形部分高度为16cm，圆台部分高度为6cm，当水面高度为10cm时，倒置瓶子，瓶口朝下，则水面高度约为（　　）
A．7cm B．9cm C．11cm D．13cm
7．（5分）（2024秋 邯郸月考）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线BM交椭圆E于另一点D，记直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，若，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）（2022秋 荆州区校级期末）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　）
A．[0，1] B．（0，1]
C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2024春 肇庆期末）已知函数，x∈[0，π]，对 x∈[0，π]都有m≤f（x）≤M，且f（x）的零点有且只有3个．下列选项中正确的有（　　）
A．M+m＝0
B．ω的取值范围为
C．使f（x0）＝M的x0有且只有2个
D．方程的所有根之和为6π
（多选）10．（6分）（2025 保定模拟）已知抛物线S：y2＝3x，M（2，0），点M，N关于坐标原点对称，T（4，0），过点M的直线l与S交于A，B两点，点A在第一象限，则（　　）
A．若AB⊥MN，则
B．若△ATM为等腰三角形，则l的斜率为3
C．|BN||AM|＝|AN||BM|
D．若四边形ANBT为梯形，则其面积为
（多选）11．（6分）（2025春 吉安县校级月考）已知可导函数y＝f（x）的导函数为f'（x）＝x（ln|x|+x2﹣1），则（　　）
A．y＝f（x）有2个极值点x＝±1
B．y＝f′（x）有3个零点
C．y＝f（x）只可能在x＝1或者x＝﹣1时取得最小值
D．对 x∈（﹣1，0）∪（1，+∞），f'（x）＞0恒成立
三．填空题（共3小题，满分20分）
12．（5分）已知tanα，α∈（﹣π，），则sin　 　 ．
13．（5分）（2022秋 蕉城区校级月考）若a1＝1，an+1＝2an+3，则通项公式an＝　 　 ．
14．（10分）（2023 平顶山模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积，则角B＝　 　 ，sinAsinC的最大值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2023秋 东山县期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，若数列{cn}满足cn，求数列{cn}的前n项和Tn．
16．（2024秋 鞍山期末）巴黎奥运会于2024年7月26日至8月11日举行．某体育局为普及奥运知识，组织了答题活动．设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球大小、颜色、质量都一样．每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为2分、10分．抽取规则：每次从抽题箱抽取一个小球，对小球中题目作答后将该题目放回原球内，并把小球放回抽题箱，摇匀后，再抽取．已知2分题目小球被抽到的概率为，10分题目小球被抽到的概率为．
（1）若甲抽取3次，记X表示甲3次抽取题目分值之和，求X的分布列和数学期望．
（2）若甲、乙各抽取4次，已知甲前两次抽出题目分值之和为20，记事件A＝“乙抽出题目分值之和大于甲抽出题目分值之和”，求P（A）．
17．（2024秋 河南月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，且AA1＝4，，直线AE与A1C交于点F．
（1）证明：A1C⊥平面ABE．
（2）求二面角A1﹣BE﹣A的正弦值．
18．（2024春 顺庆区校级期中）已知函数f（x）＝﹣x3+3ax2+9a2x﹣3a2．
（1）当a＝1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．
19．（2025 湖北模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，Fn为双曲线En的右焦点，过Fn的直线与双曲线En的右支交于An，Bn两点，过点An，Bn分别作平行于x轴的直线，与直线分别交于 n，Dn两点，直线Bn n与x轴的交点为Mn（7bn+1，0）．
（1）求双曲线En的离心率；
（2）证明：数列{bn}是以为公比的等比数列；
（3）定义：无穷等比递减数列{cn}的所有项和，其中c1为{cn}的首项，q为{cn}的公比，且0＜q＜1．设直线Bn n与直线AnDn的交点为Hn，△AnBnHn的面积记为Sn，求数列{Sn}的所有项和S的最小值（结果用a1或b1表示）．
2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅱ）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023 北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），则z的共轭复数（　　）
A．1i B．1i C．﹣1i D．﹣1i
【考点】由复平面中的点确定复数；共轭复数．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），
∴z＝﹣1i，
则z的共轭复数1i，
故选：D．
【点评】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）设p：李师傅修电脑，q：王师傅修电脑，则“由李师傅或王师傅中一人修电脑”符号化为（　　）
A．（p∧￢q）∨（￢p∧q） B．（p∨￢q）∧（￢p∨q）
C．p∨q D．p∧q
【考点】复合命题及其真假．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】A
【分析】由复合命题的形式求解即可．
【解答】解：“由李师傅一人修电脑”符号为p∧￢q，
“由王师傅一人修电脑”符号为￢p∧q，
则“由李师傅或王师傅中一人修电脑”符号化为（p∧￢q）∨（￢p∧q）．
故选：A．
【点评】本题主要考查复合命题的形式，属于基础题．
3．（5分）（2022 大武口区校级四模）在等边△ABC中，O为重心，D是OB的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】设E是AC中点，结合O为重心，D是OB的中点，然后求解即可．
【解答】解：在等边△ABC中，O为重心，D是OB的中点，
设E是AC中点，
．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查数学运算的核心素养，是基础题．
4．（5分）一组数据从小到大依次为3，5，6，7，8，9，m，10，11，13，且众数为9，下列说法错误的是（　　）
A．m＝9 B．中位数为8.5
C．平均数为8 D．极差为10
【考点】中位数；众数；平均数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】由条件结合众数的定义求m，再结合中位数，平均数，极差定义求中位数，平均数，极差判断各选项．
【解答】解：一组数据从小到大依次为3，5，6，7，8，9，m，10，11，13，且众数为9，
众数是一组数据中出现次数最多的数据，因此m＝9；
该组数据的中位数是第5位和第6位数的平均数，即为8.5；
极差为13﹣3＝10；
平均数是．
故选：C．
【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题．
5．（5分）（2022春 南岸区校级月考）已知函数，则不等式g（2x+1）＞g（3x）的解集是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）
【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用分段函数，结合函数的单调性，转化求解即可．
【解答】解：函数，不等式g（2x+1）＞g（3x），
可得或，
解得x或．
所以不等式的解集为：（﹣∞，0）．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的应用，不等式的解法，是基础题．
6．（5分）如图，某水瓶可以近似看作由一个圆台和一个圆柱构成（瓶口圆柱部分忽略不计），测量得到瓶底直径为6cm，瓶口直径为2cm，圆柱形部分高度为16cm，圆台部分高度为6cm，当水面高度为10cm时，倒置瓶子，瓶口朝下，则水面高度约为（　　）
A．7cm B．9cm C．11cm D．13cm
【考点】圆台的体积．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】D
【分析】直接根据正放时和倒置时的水的体积相等，结合圆柱、圆台的体积公式求解即可．
【解答】解：由题意瓶底直径为6cm，瓶口直径为2cm，圆柱形部分高度为16cm，圆台部分高度为6cm，当水面高度为10cm时，
正放时水的体积为π×32×10＝90π，
倒置时的水的体积为（12+32+1×3）×6+π×32×h′＝26+9πh′，（其中h′表示倒置时水面除圆台部分处于圆柱部分的高度），
由正放时和倒置时的水的体积相等，
可得90π＝26+9πh′，
解得h′7，
故水面高度约为6+7＝13．
故选：D．
【点评】本题考查了圆台、圆柱的体积公式，是中档题．
7．（5分）（2024秋 邯郸月考）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线BM交椭圆E于另一点D，记直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，若，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据直线斜率的坐标表示，结合椭圆的性质，可求得，再求得，进而可得，即可求离心率．
【解答】解：已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线BM交椭圆E于另一点D，
设D（x1，y1），A（x0，y0），
则B（﹣x0，﹣y0），M（x0，0），
所以，
又，
所以，
又点M在DB上，
所以，
所以，
即，
则．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了直线的斜率公式，属中档题．
8．（5分）（2022秋 荆州区校级期末）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　）
A．[0，1] B．（0，1]
C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
【考点】不等式恒成立的问题．
【专题】分类讨论；综合法；不等式；运算求解．
【答案】A
【分析】根据不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，分k＝0和k≠0两种情况，求出k的取值范围即可．
【解答】解：kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，
当k＝0时，8≥0恒成立，符合题意；
当k≠0时，由题意得，解得0＜k≤1，
综上，k的取值范围为[0，1]，
故选：A．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2024春 肇庆期末）已知函数，x∈[0，π]，对 x∈[0，π]都有m≤f（x）≤M，且f（x）的零点有且只有3个．下列选项中正确的有（　　）
A．M+m＝0
B．ω的取值范围为
C．使f（x0）＝M的x0有且只有2个
D．方程的所有根之和为6π
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AC
【分析】，始终把看作一个整体，借助正弦函数的图象、最值、方程的根来对选项逐一分析即可．
【解答】ω解：，
令，则y＝2sint，
令f（x）＝0，即sint＝0，
∵x∈[0，π]，∴，
则f（x）在[0，π]上有3个零点，
则3π≤tmax＜4π，即，
解得，故B错误；
∵x∈[0，π]，∴，
则M＝2，m＝﹣2，∴M+m＝0，故A正确；
若f（x0）＝M＝2，即，
或，故C正确；
，且f（x）的零点有且只有3个，
∴方程有四个根，从小到大分别为0，x1，x2，x3，
，即，
则，，，
则，
故，
即方程的所有根之和为，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）10．（6分）（2025 保定模拟）已知抛物线S：y2＝3x，M（2，0），点M，N关于坐标原点对称，T（4，0），过点M的直线l与S交于A，B两点，点A在第一象限，则（　　）
A．若AB⊥MN，则
B．若△ATM为等腰三角形，则l的斜率为3
C．|BN||AM|＝|AN||BM|
D．若四边形ANBT为梯形，则其面积为
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】由AB⊥MN可求A的纵坐标，由此可求|AB|，判断A，由条件可得|AM|＝|AT|或|AM|＝|MT|，由此判断B，设l的方程为x＝ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），利用设而不求法证明kAN+kBN＝0，结合角平分线性质判断C，结合C选项的解答证明点A在NT的中垂线上，由此可求A，B的坐标，再求梯形面积，判断D．
【解答】解：如果AB⊥MN，那么A，B的横坐标均为2，
代入S的方程，解得A的纵坐标为，因此，所以选项A正确；
如果三角形ATM为等腰三角形，那么可能是|AM|＝|AT|或|AM|＝|MT|，
两种情况斜率不同，不可能只有3一个值，所以选项B错误；
根据已知直线l的斜率不为0，
设l的方程为x＝ty+2，B（x2，y2），A（x1，y1），
与抛物线方程联立，可得y2﹣3ty﹣6＝0，
根据韦达定理可得y1y2＝﹣6，y1+y2＝3t，
那么，
因此∠ANM＝∠BNM成立，根据角平分线定理可得，
因此|BN||AM|＝|AN||BM|，所以选项C正确；
如果四边形ANBT为梯形，根据对称性，设上底为AT，
根据选项C知，∠ANM＝∠BNM，根据梯形上下底平行得，∠ATM＝∠BNM，
所以∠ATM＝∠ANM，所以点A在NT的中垂线上，
因此A的横坐标为1，解得，又因为y1y2＝﹣6，故，
因此，
梯形ANBT的面积为，所以选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）（2025春 吉安县校级月考）已知可导函数y＝f（x）的导函数为f'（x）＝x（ln|x|+x2﹣1），则（　　）
A．y＝f（x）有2个极值点x＝±1
B．y＝f′（x）有3个零点
C．y＝f（x）只可能在x＝1或者x＝﹣1时取得最小值
D．对 x∈（﹣1，0）∪（1，+∞），f'（x）＞0恒成立
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值．
【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】令h（x）＝ln|x|+x2﹣1，对h（x）求导，结合导数与单调性及极值关系检验各选项即可判断．
【解答】解：因为f'（x）＝x（ln|x|+x2﹣1），可知f'（x）为奇函数，x≠0，
令h（x）＝ln|x|+x2﹣1，
当x＞0时，h（x）＝lnx+x2﹣1，，此时h（x）单调递增，h（1）＝0，
故在区间（0，1）上，f'（x）＜0，在（1，+∞）上，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，x＝1为函数f（x）的极小值，
同理根据函数对称性可得f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，x＝﹣1为函数的极小值点，
因为h（1）＝h（﹣1）＝0，
当x＞0时，h（x）只有一个零点1，x＜0时，h（x）只有一个零点﹣1，即f′（x）有2个零点，
故A正确，C正确，B错误，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题，满分20分）
12．（5分）已知tanα，α∈（﹣π，），则sin　　 ．
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】由同角三角函数的关系，结合二倍角公式求解即可．
【解答】解：已知tanα，α∈（﹣π，），
则，
又sin2α+cos2α＝1，sinα＜0，cosα＜0，
则，
则，
即，
又，
即sin0，
则sin．
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了二倍角公式，属中档题．
13．（5分）（2022秋 蕉城区校级月考）若a1＝1，an+1＝2an+3，则通项公式an＝　﹣3+2n+1　 ．
【考点】数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】﹣3+2n+1．
【分析】通过对an+1＝2an+3变形，进而可得到数列{an+3}是首项为4、公比为2的等比数列，进而求解结论．
【解答】解：∵an+1＝2an+3，
∴an+1+3＝2an+6，即an+1+3＝2（an+3），
又∵a1+3＝1+3＝4，
∴数列{an+3}是首项为4、公比为2的等比数列，
∴an+3＝4×2n﹣1＝2n+1，an＝﹣3+2n+1；
故答案为：﹣3+2n+1．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
14．（10分）（2023 平顶山模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积，则角B＝　　 ，sinAsinC的最大值为 　　 ．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．
【专题】转化思想；转化法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】；．
【分析】运用余弦定理及三角形面积公式可得B，结合三角恒等变换得sinAsinC（），即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴，则，
∵B∈（0，π），∴，
∴，
又，则，
∴，则，
故sinAsinC的最大值为．
故答案为：；．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
15．（2023秋 东山县期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，若数列{cn}满足cn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系及等比数列的通项公式可求；
（2）先求出dn，然后求出cn，再由裂项求和即可求解．
【解答】解：（1）因为an+1＝2Sn+2，
故n≥2时，an＝2Sn﹣1+2，
所以an+1﹣an＝2an，即an+1＝3an，
因为数列{an}为等比数列，
所以n＝1时，a2＝2a1+2＝3a1，即a1＝2，
所以；
（2）由题意得dn，
所以cn2（），
所以Tn＝2（1）＝2（1）．
【点评】本题主要考查了数列的和与项的递推关系的应用，等比数列的通项公式，数列的裂项求和，属于中档题．
16．（2024秋 鞍山期末）巴黎奥运会于2024年7月26日至8月11日举行．某体育局为普及奥运知识，组织了答题活动．设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球大小、颜色、质量都一样．每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为2分、10分．抽取规则：每次从抽题箱抽取一个小球，对小球中题目作答后将该题目放回原球内，并把小球放回抽题箱，摇匀后，再抽取．已知2分题目小球被抽到的概率为，10分题目小球被抽到的概率为．
（1）若甲抽取3次，记X表示甲3次抽取题目分值之和，求X的分布列和数学期望．
（2）若甲、乙各抽取4次，已知甲前两次抽出题目分值之和为20，记事件A＝“乙抽出题目分值之和大于甲抽出题目分值之和”，求P（A）．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；全概率公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）X的分布列为：
X 6 14 22 30
P
E（X）＝12；
（2）．
【分析】（1）根据题意列出X的所有可能取值，利用独立重复试验的概率计算公式求解即可；
（2）根据条件概率，全概率公式计算即可．
【解答】解：（1）由题意可知，X的所有可能取值为6，14，22，30，
则，，
，，
所以X的分布列为：
X 6 14 22 30
P
所以12；
（2）记Bi＝“甲抽出题目分值之和为i”，i＝24，32，40，
则，，
当甲抽出题目分值之和为24时，乙抽出题目分值之和需为32或40，
所以，
当甲抽出题目分值之和为32时，乙抽出题目分值之和需为40，
所以，
故P（A）＝P（B24）P（A|B24）+P（B32）P（A|B32）．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了全概率公式的应用，属于中档题．
17．（2024秋 河南月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，且AA1＝4，，直线AE与A1C交于点F．
（1）证明：A1C⊥平面ABE．
（2）求二面角A1﹣BE﹣A的正弦值．
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系A﹣xyz，接着求出和平面ABE的法向量，进而得，进而得证．
（2）由（1）得平面ABE的法向量并求出平面A1BE的一个法向量，接着计算即可进一步求出二面角A1﹣BE﹣A的正弦值．
【解答】解：（1）证明：由题意可以A为原点，AB，AC和AA1分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
因为AB＝AC＝2，且AA1＝4，，
所以A1（0，0，4），C（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，2，1），
所以，，，
设是平面ABE的一个法向量，
所以，
取y＝1，得，
所以，即，所以A1C⊥平面ABE．
（2）由（1）得，，平面ABE的一个法向量为，
设是平面A1BE的一个法向量，
所以，
取c＝2，得，
设二面角A1﹣BE﹣A的大小为θ，θ∈[0，π]，
则，
所以二面角A1﹣BE﹣A的正弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
18．（2024春 顺庆区校级期中）已知函数f（x）＝﹣x3+3ax2+9a2x﹣3a2．
（1）当a＝1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】分类讨论；整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调递增区间为（﹣1，3）；
（2）．
【分析】（1）把a＝1代入，对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
（2）对函数求导，结合导数分析函数的单调性，然后结合函数的性质及零点存在定理即可求解．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣3，f'（x）＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x+1）（x﹣3），
由f′（x）＞0得﹣1＜x＜3，所以f（x）在（﹣1，3）上单调递增，
由f′（x）＜0得，x＜﹣1或x＞3，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）上单调递减；
综上所述：函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调递增区间为（﹣1，3）；
（2）∵f'（x）＝﹣3x2+6ax+9a2＝﹣3（x+a）（x﹣3a），
当a＜0时，由f′（x）＞0得3a＜x＜﹣a，所以f（x）在（3a，﹣a）上单调递增，由f′（x）＜0得x＜3a或x＞﹣a，
所以f（x）在（﹣∞，3a）和（﹣a，+∞）上单调递减，
，，
当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→﹣∞，因函数f（x）有三个零点，
所以只需f（x）极小值＜0，f（x）极大值＞0，
即，
解之得，
综上所述：a的取值范围为．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数的性质及零点存在定理的应用，属于中档题．
19．（2025 湖北模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，Fn为双曲线En的右焦点，过Fn的直线与双曲线En的右支交于An，Bn两点，过点An，Bn分别作平行于x轴的直线，与直线分别交于 n，Dn两点，直线Bn n与x轴的交点为Mn（7bn+1，0）．
（1）求双曲线En的离心率；
（2）证明：数列{bn}是以为公比的等比数列；
（3）定义：无穷等比递减数列{cn}的所有项和，其中c1为{cn}的首项，q为{cn}的公比，且0＜q＜1．设直线Bn n与直线AnDn的交点为Hn，△AnBnHn的面积记为Sn，求数列{Sn}的所有项和S的最小值（结果用a1或b1表示）．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】应用题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）．
【分析】（1）利用给定条件，求出渐近线方程，进而求出离心率．
（2）由（1）求出双曲线方程，设出直线AnBn的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出直线Bn n与x轴交点坐标，结合已知推理得证．
（3）利用（2）求出Hn的坐标，求出△AnBnHn的面积，求出数列{Sn}的所有项和的函数关系，再求出其最小值即可．
【解答】解：（1）根据题目：已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，
Fn为双曲线En的右焦点，过Fn的直线与双曲线En的右支交于An，Bn两点，过点An，Bn分别作平行于x轴的直线，
与直线分别交于 n，Dn两点，直线Bn n与x轴的交点为Mn（7bn+1，0）．
设双曲线En的一条渐近线的倾斜角为α，另一条渐近线的倾斜角为β，
依题意，，解得，，
则双曲线En的渐近线方程为，即，
即双曲线En的离心率为
（2）证明：由（1）知，Fn（2bn，0），双曲线En的方程为，
设An（xn，yn），B（xn′，yn′），则，，
过Fn（2bn，0）的直线AnBn斜率不为0，设直线AnBn的方程为，
由消去x并整理得，，
则，，，
直线Bn n的斜率，直线Bn n的方程为，
令y＝0，则
，因此直线Bn n恒过定点，
又直线Bn n与x轴的交点为Mn（7bn+1，0），于是，即，
即数列{bn}是以b1为首项，为公比的等比数列．
（3）根据题目定义：无穷等比递减数列{cn}的所有项和，其中c1为{cn}的首项，
q为{cn}的公比，且0＜q＜1．设直线Bn n与直线AnDn的交点为Hn，△AnBnHn的面积记为Sn，
由对称性知，直线AnDn也恒过定点，则，，
因此
，，
则{Sn}是以为首项，为公比的等比数列，数列{Sn}的所有项和
，设m2+1＝t，则m2＝t﹣1，
由过Fn的直线与双曲线En的右支交于An，Bn两点，得，即1≤t＜4，
则，又函数在[1，4）上单调递减，
则 ，，
即数列{Sn}的所有项和S的最小值为．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于中档题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑