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2025届高考数学模拟预测卷（全国甲卷）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023 巴中模拟）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈A}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}
2．（5分）（2024春 海淀区校级期中）下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（　　）
A．f（x）＝cos2x B．
C．f（x）＝tan（﹣x） D．f（x）＝sin|x|
3．（5分）（2024秋 海陵区校级期中）复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（5分）（2024春 建华区校级期中）已知向量，则（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）（2024秋 广东月考）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3＝3，S6＝10，S9＝（　　）
A．13 B．17 C．21 D．23
6．（5分）（2022 杭州模拟）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，BCAC，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022春 南通期末）已知双曲线x21的左、右焦点分别为F1、F2，P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，|OP|＝|OF1|，四边形PF1QF2的面积为2，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
8．（5分）（2024秋 邗江区期中）下列说法不正确的是（　　）
A．命题p： x∈R，x2＞0，则命题p的否定： x∈R，x2≤0
B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则
C．若1＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，则3＜2x﹣y＜8
D．已知集合M＝{0，1}，且N M，满足条件的集合N的个数为4
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2025 福州模拟）已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点中心对称，则（　　）
A．f（x）在区间上单调递增
B．f（x）在区间上的最大值为1
C．直线是曲线y＝f（x）的对称轴
D．当x≤0时，函数的图象恒在函数f（x）的图象上方
（多选）10．（6分）（2024秋 漯河期末）在平面直角坐标系内，动点M到定点F（0，1）的距离与M到定直线l：y＝3的距离的和为4．记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论正确的是（　　）
A．曲线W过原点
B．曲线W是轴对称图形，也是中心对称图形
C．曲线W恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．曲线W围成区域的面积大于
（多选）11．（6分）（2022 全国模拟）计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行n+1列时，设第i列像素点的亮度为xi，则该图像对比度计算公式为．已知某像素点规模为1行n+1列的图像第i列像素点的亮度xi∈[0，9]（i＝1，2，…，n+1），现对该图像进行调整，有2种调整方案：①yi＝axi+b（a＞0，b＞0，i＝1，2，…，n+1）；②zi＝clg（xi+1）（c＞0，i＝1，2，…，n+1），则（　　）
A．使用方案①调整，当b＝9时，yi＞xi（i＝1，2，…，n+1）
B．使用方案②调整，当c＝9时，zi＜xi（i＝1，2，…，n+1）
C．使用方案①调整，当时，a＞1
D．使用方案②调整，当，c≤ln10时，
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2025 无极县校级模拟）过椭圆C：右焦点F的直线l：x﹣y﹣2＝0交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的标准方程为 　 　 ．
13．（5分）（2022春 和平区校级期末）已知（x+2）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a9（x+1）9，则a1+a2+ +a9＝　 　 （用数字作答）．
14．（5分）（2022秋 台江区校级月考）在正项等比数列{an}中，若a4a8＝4，则log2a2+log2a10＝　 　 ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2024春 白山期末）为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017﹣2023年这7年的有机胡夢卜的亩产量，得到数据如下表；
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
亩产量y/吨/亩） 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2
（1）从这7年的有机胡夢卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率；
（2）已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大．若剔除天气因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量．
附：．
16．（15分）（2024 日照开学）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求b；
（2）若sinB+sinC＝2sinA，求△ABC的面积．
17．（15分）（2023 遂宁模拟）已知函数f（x）＝x（ex﹣1）x2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）若f（x）≥lnx+（a﹣2）xx2+1恒成立，求实数a的取值范围
18．（17分）（2025 驻马店模拟）如图，圆台下底面圆O1的直径为AB，C是圆O1上异于A，B的点，P，M是圆台上底面圆O2上的两点，N是BC的中点，PA＝AC＝PC＝BC＝2，．
（1）证明：BC⊥平面PAC．
（2）求四面体PABC的外接球的表面积；
（3）求直线MN与平面PAC所成角的正弦值的最大值．
19．（17分）（2023秋 新北区校级月考）设抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，经过x轴正半轴上点M（m，0）的直线l交Γ于不同的两点A和B．
（1）若m＝2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
（2）若|FA|＝|FM|，且直线l1∥l，l1与Γ有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．（三角形面积公式：在△ABC中，设（x1，y1），（x2，y2），则△ABC的面积为S|x1y2﹣x2y1|）．
2025届高考数学模拟预测卷（全国甲卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023 巴中模拟）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈A}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}
【考点】求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】D
【分析】先求出集合B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈A}＝{﹣3，﹣1，1}，
则A∩B＝{﹣1，1}．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）（2024春 海淀区校级期中）下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（　　）
A．f（x）＝cos2x B．
C．f（x）＝tan（﹣x） D．f（x）＝sin|x|
【考点】正切函数的奇偶性与对称性；余弦函数的对称性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项．
【解答】解：对于A，函数f（x）＝cos2x的最小正周期为π，
因为f（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝f（x），所以f（x）＝cos2x为偶函数，A错误，
对于B，函数的最小正周期为2π，
因为，所以函数为奇函数，B错误，
对于C，函数f（x）＝tan（﹣x）的最小正周期为π，
因为f（﹣x）＝tanx＝﹣tan（﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）＝tan（﹣x）为奇函数，C正确，
对于D，函数f（x）＝sin|x|的图象如下：
所以函数f（x）＝sin|x|不是周期函数，且函数f（x）＝sin|x|为偶函数，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数性质，属于基础题．
3．（5分）（2024秋 海陵区校级期中）复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的除法运算．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】利用复数的除法法则计算可得复数z，进而可判断在复平面的对应点所在的象限．
【解答】解：∵，
复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4．（5分）（2024春 建华区校级期中）已知向量，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据条件，求出，再利用模长的计算公式，即可求出结果．
【解答】解：因为，
所以，
得到．
故选：A．
【点评】本题考查了向量坐标的减法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，是基础题．
5．（5分）（2024秋 广东月考）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3＝3，S6＝10，S9＝（　　）
A．13 B．17 C．21 D．23
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，由等差中项的性质可得S6﹣S3，S9﹣S6为等差数列，结合等差中项的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，
则S3，S6﹣S3，S9﹣S6为等差数列，
所以2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（10﹣3）＝3+S9﹣10，
变形可得：S9＝21．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列前n项和的性质，注意等差中项的性质，属于基础题．
6．（5分）（2022 杭州模拟）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，BCAC，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】球的体积．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；球；逻辑思维；直观想象；运算求解．
【答案】C
【分析】△ABC面积最大时三棱柱的体积最大，令AC＝x，结合余弦定理和面积公式可得，此时△ABC为等腰三角形，进一步再求解三棱柱外接球的半径即可得答案．
【解答】解：由直三棱柱的性质可得AA1⊥平面ABC，
△ABC面积最大时三棱柱的体积最大，
由面积公式可得，
设AC＝x，因为，所以，
在△ABC中，由余弦定理可得，
所以，，
，
当x2＝4，即AC＝2时，取得最大值3，
即当AC＝2时，S△ABC取得最大值，
此时△ABC为等腰三角形，，
，
所以，
由正弦定理得△ABC外接圆的半径r满足，即r＝2，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径，解得，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的体积为，
故选：C．
【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
7．（5分）（2022春 南通期末）已知双曲线x21的左、右焦点分别为F1、F2，P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，|OP|＝|OF1|，四边形PF1QF2的面积为2，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】结合已知条件，通过a＝1，结合矩形面积，以及勾股定理，求解c，推出双曲线的离心率即可．
【解答】解：不妨设点P在Q的上方，如图所示，双曲线x21，
设|PF2|＝t，则|PF1|＝2+t，
∵矩形PF1QF2的面积为2，可得（2+t） t＝2，解得，t1，
（2+t）2+t2＝4c2，化简整理得c，
∴离心率e．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，勾股定理的应用，考查学生的数形结合思想、转化能力和运算能力，属于中档题．
8．（5分）（2024秋 邗江区期中）下列说法不正确的是（　　）
A．命题p： x∈R，x2＞0，则命题p的否定： x∈R，x2≤0
B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则
C．若1＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，则3＜2x﹣y＜8
D．已知集合M＝{0，1}，且N M，满足条件的集合N的个数为4
【考点】等式与不等式的性质；求全称量词命题的否定．
【专题】分类讨论；综合法；不等式；运算求解．
【答案】B
【分析】利用命题的否定形式判断出A的真假；分类讨论可得方程有一个根的情况，求出a的值，判断出B的真假；不等式的性质判断出C的真假；集合的子集的个数判断出D的真假．
【解答】解：对于A，由全称命题的否定知，命题p： x∈R，x2＞0，它的否定为 x∈R，x2≤0，所以A正确；
对于B，若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，
当a＝0时，A＝{x|x＝﹣1}，符合题意，
又，解得，也符合题意，
所以a的值为0或，所以B不正确；
对于C，因为1＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，
所以2＜2x＜6，1＜﹣y＜2，则3＜2x﹣y＜8，所以C正确；
对于D，集合M＝{0，1}，因为N M，所以集合N的个数为22＝4，所以D正确．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质的应用及分类讨论的思想，属于基础题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2025 福州模拟）已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点中心对称，则（　　）
A．f（x）在区间上单调递增
B．f（x）在区间上的最大值为1
C．直线是曲线y＝f（x）的对称轴
D．当x≤0时，函数的图象恒在函数f（x）的图象上方
【考点】余弦函数的单调性；余弦函数的对称性；余弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据题意，求出φ，得到f（x）的解析式，再对各选项进行逐项分析．
【解答】解：因为f（x）的图象关于点中心对称，所以2×（）+φ＝kπ，k∈Z，
解得φ＝kπ，k∈Z，因为0＜φ＜π，所以k＝﹣1，φ，f（x）＝cos（2x），
对于A，x∈时，2x∈（，），因为y＝cosx在（，）上先递增后递减，
所以f（x）在区间上不单调递增，故A错误；
对于B，x∈时，2x∈（，），当2x0，即x时，f（x）有最大值1，故B正确；
对于C，时，2xkπ，k∈Z，所以直线不是曲线y＝f（x）的对称轴，故C错误；
对于D，当x≤0时，1恒成立，当且仅当x＝0时取等号，而f（x）≤1且f（0）≠1，
所以当x≤0时，函数的图象恒在函数f（x）的图象上方，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．
（多选）10．（6分）（2024秋 漯河期末）在平面直角坐标系内，动点M到定点F（0，1）的距离与M到定直线l：y＝3的距离的和为4．记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论正确的是（　　）
A．曲线W过原点
B．曲线W是轴对称图形，也是中心对称图形
C．曲线W恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．曲线W围成区域的面积大于
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案．
【解答】解：设M（x，y），那么，点M到直线l的距离d＝|y﹣3|，
根据题意可知，所以x2+（y﹣1）2＝（4﹣|y﹣3|）2，
x2+y2﹣2y+1＝16﹣8|y﹣3|+y2﹣6y+9，x2＝24﹣4y﹣8|y﹣3|，
当y＜3时，，则，x2＜12，；
当y≥3时，，
那么，
可作图如下：
根据图可知：曲线W过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以选项A正确，选项B错误；
曲线W经过O（0，0），A（2，1），C（0，4），E（﹣2，1）4个点，没有其它整点，故C正确；
由，，F（0，3），
四边形AFEO的面积，，
，
多边形ABCDEO的面积
曲线W围成区域的面积大于，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查轨迹方程，属于中档题．
（多选）11．（6分）（2022 全国模拟）计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行n+1列时，设第i列像素点的亮度为xi，则该图像对比度计算公式为．已知某像素点规模为1行n+1列的图像第i列像素点的亮度xi∈[0，9]（i＝1，2，…，n+1），现对该图像进行调整，有2种调整方案：①yi＝axi+b（a＞0，b＞0，i＝1，2，…，n+1）；②zi＝clg（xi+1）（c＞0，i＝1，2，…，n+1），则（　　）
A．使用方案①调整，当b＝9时，yi＞xi（i＝1，2，…，n+1）
B．使用方案②调整，当c＝9时，zi＜xi（i＝1，2，…，n+1）
C．使用方案①调整，当时，a＞1
D．使用方案②调整，当，c≤ln10时，
【考点】进行简单的合情推理．
【专题】转化思想；综合法；推理和证明；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】方案①：根据yi＝axi+b的性质，将b＝9，a＞0及xi∈[0，9]代入判断A；利用对比度公式可得，由此能判断C；方案②：在zi＝9lg（xi+1）时，代入特殊值xi＝9判断B；根据条件判断∈（，t2ln2），且c（）2，特殊值n＝1代入能判断D．
【解答】解：使用方案①调整，当b＝9时，yi＝axi+9且a＞0，又xi∈[0，9]，则yi＞xi，故A正确；
，，
当，即且n∈N*，又a＞0，可得a＞1，故C正确；
使用方案②调整：当c＝9时，zi＝9lg（xi+1），由题意得xi＝9时，zi＝9，故B错误；
，而0＜c≤ln10，则t∈（0，1]，
∴zi＝tlm（xi+1），
∵xi（i＝1，2，…，n+1），∴，，
∴zi﹣zi+1＝t[ln（）﹣ln（）]＝tln（1），
而1∈[]，
n＝1时，1∈[]，则（zi﹣zi+1）2∈[]，
则∈（），此时，由题意存在，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推理、图像对比度计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2025 无极县校级模拟）过椭圆C：右焦点F的直线l：x﹣y﹣2＝0交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的标准方程为 　　 ．
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得c，再设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），点A，B坐标代入椭圆方程相减得出直线AB与直线OP斜率的关系，从而求得a，b的关系，结合c可求得a，b得椭圆方程．
【解答】解：直线l：x﹣y﹣2＝0，令y＝0，得x＝2，所以椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），即c＝2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），2x0＝x1+x2，2y0＝y1+y2，
所以，
两式相减得，
所以，即，
因为kOP，kAB＝1，所以，
所以a2＝2b2，
又c2＝a2﹣b2＝b2＝4，因此a2＝8，
所以椭圆C的标准方程．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，考查运算求解能力，属于中档题．
13．（5分）（2022春 和平区校级期末）已知（x+2）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a9（x+1）9，则a1+a2+ +a9＝　511　 （用数字作答）．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】511．
【分析】令（x+1+1）9＝（x+2）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+ +a9（x+1）9，令x+1＝0，求出a0，再令x+1＝1，求出a0+a1+a2+ +a9，则a1+a2+ +a9可求．
【解答】解：令x+1＝0，代入原式得1＝a0，
再令x+1＝1，代入原式得a0+a1+a2+ +a9＝29，
故a1+a2+ +a9＝29﹣1＝511．
故答案为：511．
【点评】本题考查二项式展开式的性质以及赋值法的应用，属于中档题．
14．（5分）（2022秋 台江区校级月考）在正项等比数列{an}中，若a4a8＝4，则log2a2+log2a10＝　2　 ．
【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【答案】2．
【分析】直接利用等比数列的性质和对数的运算求出结果．
【解答】解：正项等比数列{an}中，若a4a8＝4，
所以a2a10＝4，
则log2a2+log2a10＝log24＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2024春 白山期末）为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017﹣2023年这7年的有机胡夢卜的亩产量，得到数据如下表；
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
亩产量y/吨/亩） 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2
（1）从这7年的有机胡夢卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率；
（2）已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大．若剔除天气因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量．
附：．
【考点】一元线性回归模型．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2），2.54吨/亩．
【分析】（1）利用条件概率的计算公式，即可求得答案；
（2）剔除2023年的数据，根据最小二乘法的公式求出的值，即可得经验回归方程，将x＝9代入，即可得2025年小王的有机胡萝卜的亩产量．
【解答】解：（1）由表知，这7年的有机胡萝卜的亩产数据中，有5年的亩产量不低于0.5吨/亩，2年的亩产量低于0.5吨/亩，
记A＝“这7年中任取3年，至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩”，B＝“这7年中任取3年，3年的亩产量都高于0.5吨/亩”，
则，
所以；
（2）由表可知，2023年的数据异常，剔除2023年的数据，则剩余6年的数据中，
，
（5﹣3.5）（1.5﹣1）+（6﹣3.5）（1.7﹣1）＝4.9，，
所以，
所以，
所以y与x的经验回归方程为，
当x＝9时，（吨/亩）．
所以在排除气候因素影响的情况下，预测2025年小王的有机胡夢卜的亩产量为2.54吨/亩．
【点评】本题考查条件概率以及线性回归方程，属于中档题．
16．（15分）（2024 日照开学）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求b；
（2）若sinB+sinC＝2sinA，求△ABC的面积．
【考点】解三角形．
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由三角形内角和结合已知可得，化简可得：，再利用求解；
（2）由已知结合正弦定理得b+c＝4，再利用余弦定理得bc＝4，从而得解．
【解答】解：（1）因为A+B+C＝π且，故，所以，
代入可得：，
因此，
化简可得：，则，
因为，所以，
所以，
所以可得：，化简可得：sinB＝1，
在△ABC中，由正弦定理可得：；
（2）在△ABC中，sinB+sinC＝2sinA，
由正弦定理可知：
可化为：
故可得：b+c＝2a，代入可得：b+c＝4，
所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝16，故b2+c2＝16﹣2bc（*），
在△ABC中，由余弦定理可得：，
代入数据和（*）式可得：bc＝4，
所以三角形面积为：，
故△ABC的面积为．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
17．（15分）（2023 遂宁模拟）已知函数f（x）＝x（ex﹣1）x2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）若f（x）≥lnx+（a﹣2）xx2+1恒成立，求实数a的取值范围
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．
【专题】函数思想；数形结合法；导数的概念及应用；数学抽象；运算求解．
【答案】（1）f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞），单调减区间为（﹣1，0）；极大值为f（﹣1）；
（2）（﹣∞，2）．
【分析】（1）求导，利用导数得出单调性以及极值；
（2）分离参数a，构造函数g（x），利用导数得出其最小值，从而得出实数a的取值范围．
【解答】解：f′（x）＝（x+1）ex﹣x﹣1＝（x+1）（ex﹣1），
由f′（x）＞0可得：x＜﹣1或x＞0；由f′（x）＜0可得﹣1＜x＜0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞），单调减区间为（﹣1，0），
所以f（x）的极大值为f（﹣1），在x＝﹣1时取极大值．
（2）f（x）≥lnx+（a﹣2）x1恒成立等价于x﹣lnx+xex﹣ax﹣1≥0恒成立，
因为x＞0，所以a，
令g（x），则g′（x），
令h（x）＝x2ex+lnx，则h′（x）＝ex（x2+2x）0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又h（1）＝e＞0，h（）11＜0，
所以 x0∈（，1）使得h（x0）＝0，即lnx0＝0，
所以当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（x0），
由lnx0＝0，可得ln，
而y＝xex在（0，+∞）上单调递增，所以x0＝ln，即，
所以g（x）min2，所以a∈（﹣∞，2）．
【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．
18．（17分）（2025 驻马店模拟）如图，圆台下底面圆O1的直径为AB，C是圆O1上异于A，B的点，P，M是圆台上底面圆O2上的两点，N是BC的中点，PA＝AC＝PC＝BC＝2，．
（1）证明：BC⊥平面PAC．
（2）求四面体PABC的外接球的表面积；
（3）求直线MN与平面PAC所成角的正弦值的最大值．
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；球的表面积；直线与平面垂直．
【专题】转化思想；向量法；分割补形法；空间位置关系与距离；空间角；运算求解；空间想象．
【答案】（1）证明过程请见解答；（2）；（3）．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明BC⊥PC，结合BC⊥AC，根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）将三棱锥B﹣ACP补成正三棱柱APC﹣EFB，结合正弦定理与勾股定理求得外接球的半径，再由球的表面积公式求解即可；
（3）以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法求线面角，结合基本不等式求该角正弦值的最大值即可．
【解答】（1）证明：因为BC＝PC＝2，，所以BC2+PC2＝PB2，即BC⊥PC，
因为AB为圆O1的一条直径，C是圆O1上异于A、B的点，所以BC⊥AC，
又PC、AC 平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BC⊥平面PAC．
（2）解：因为BC⊥平面PAC，且△PAC为正三角形，
所以将三棱锥B﹣ACP补成正三棱柱APC﹣EFB，
设正△APC的中心为点H，正△BEF的中心为Q，则QH的中点为外接球球心，记为G，
在△PAC中，由正弦定理知，2AH，即AH，
而GHBC＝1，
所以外接球的半径，
故四面体PABC的外接球的表面积为．
（3）解：因为BC⊥平面PAC，AC⊥BC，
故以点C为坐标原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，过点C作垂直于底面的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，N（0，1，0），
设，连接PO2、MO2，则，
因为|MO2|＝|PO2|＝1，所以（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
易知平面PAC的一个法向量为，
设直线MN与平面PAC所成的角为θ，
则，
不妨设x﹣1＝cosα，y﹣1＝sinα，
则，
设t＝5+2cosα∈[3，7]，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值的最大值为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理，利用补形法求外接球的半径，以及利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
19．（17分）（2023秋 新北区校级月考）设抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，经过x轴正半轴上点M（m，0）的直线l交Γ于不同的两点A和B．
（1）若m＝2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
（2）若|FA|＝|FM|，且直线l1∥l，l1与Γ有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．（三角形面积公式：在△ABC中，设（x1，y1），（x2，y2），则△ABC的面积为S|x1y2﹣x2y1|）．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】（1）证明过程见解答．
（2）存在，点M的坐标为M（3，0）时，△OAE的面积存在最小值，最小值为2．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），若m＝2，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的数量积运算即可得证；
（2）不妨设A（x1，y1），若|FA|＝|FM，可得m＝x1+2，此时M（x1+2，0），推出直线AB的斜率k，结合直线l1与直线AB平行，设直线l1的方程为yb，将直线l1的方程代入抛物线方程中，结合根的判别式得到b，设E（xE，yE），得到其横、纵坐标的表达式，代入三角形面积公式中，结合基本不等式进行求解即可．
【解答】解：（1）证明：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
若m＝2，
不妨设直线AB的方程为x＝my+2，
联立，消去x并整理得y2﹣4my﹣8＝0，
由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，
此时x1x2+y1y2y1y2＝4﹣8＜0，
所以∠AOB为钝角，
则原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
（2）存在，
不妨设A（x1，y1），
此时x1y1≠0，
若|FA|＝|FM|，
此时|m﹣1|＝x1+1，
又m＞0，
所以m＝x1+2，
则M（x1+2，0），
可得直线AB的斜率k，
因为直线l1与直线AB平行，
不妨设直线l1的方程为yb，
将该直线方程代入抛物线方程中，
可得y2y0，
易知Δ＝0，
解得b，
不妨设E（xE，yE），
此时xE，yE，
则S△OAE||≥2，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
解得x1＝1或x1＝0（舍去），
所以点M的坐标为M（3，0），
当点M的坐标为M（3，0）时，△OAE的面积存在最小值，最小值为2．
【点评】本题考查直线与抛物线综合应用，属于中档题．
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