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2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅰ）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2024 太原模拟）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，0） B．（0，3） C．（1，3） D．（﹣2，+∞）
2．（5分）（2025春 宝安区月考）若，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．i C．1﹣i D．﹣i
3．（5分）（2025 安顺模拟）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
4．（5分）（2024 青原区校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及点Q（﹣2，3），则下列说法正确的是（　　）
A．直线kx﹣y﹣2k+1＝0与圆C始终有两个交点
B．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为
C．若点P（m，m+1）在圆C上，则直线PQ的斜率为
D．圆C与x轴相切
5．（5分）（2022秋 黄山期末）已知，则tan2α＝（　　）
A． B．1 C． D．
6．（5分）（2022秋 临夏州期中）等比数列的首项a1＝2004，公比，设Pn表示数列{an}前n项的积，则Pn中最大的是（　　）
A．P13 B．P12 C．P11 D．P10
7．（5分）（2023秋 阆中市校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，f（0）＝2，且为奇函数，为偶函数，则（　　）
A．23 B．﹣22 C．﹣2 D．3
8．（5分）（2024春 广安校级月考）设正四面体ABCD的棱长为a，下列对正四面体的有关描述：（1）该正四面体的外接球的表面积是；
（2）该正四面体的内切球的体积是；（3）该正四面体的体积是；（4）该正四面体相对棱所成角为90°．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．3
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2024春 太原期末）已知（1﹣x）10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则下列结论正确的是（　　）
A．a0＝1
B．a10＝1
C．
D．10+a1+2a2+3a3+4a4+…+10a10＝0
（多选）10．（6分）（2024春 堆龙德庆区校级期中）已知函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．时，f（x）取得最大值
C．f（x）在上单调递增
D．f（x）的对称中心坐标是
（多选）11．（6分）（2024秋 金华月考）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，直线l交抛物线于A，B两点，则下列说法正确的是（　　）
A．当直线l过焦点时，以BF为直径的圆与x轴相切
B．存在直线l，使得A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称
C．若|AF|+|BF|＝16，则线段AB的中点M到x轴距离为8
D．当直线l过焦点时，则2|AF|+3|BF|的最小值
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2025春 浦东新区校级期中）已知向量与不平行，与平行，则实数k＝ 　 　 ．
13．（5分）（2023秋 湖南月考）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线在第二象限的交点为A，在△AF1F2中，|F1A|＝|F1F2|，∠AF2F1＝30°，则双曲线C的离心率是 　 　 ．
14．（5分）（2025春 石家庄期中）一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为pn，则p3＝　 　 ；　 　 ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2022 青羊区校级模拟）在世界读书日期间．某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人．
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
城镇居民 农村居民 合计
经常阅读 100 30
不经常阅读
合计 200
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率．
附：K2，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16．（15分）（2024 大同开学）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝1，，AD⊥PC，PB⊥BC．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为1，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
17．（15分）（2024秋 福州期中）已知椭圆C：1（a＞b＞0），C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且|DE|＝3．
（1）求C的方程；
（2）若M，N是C上任意两点，
①若点M（1，），点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设△MA1G和△NA2G的面积分别为S1，S2，若2S1﹣2S2＝3，求线段MN的长度；
②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求证：线段MN的长度不大于．
18．（17分）（2025 浙江模拟）已知a，b∈R，函数f（x）＝xe﹣x﹣aex+b．
（1）若曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝2（x+1），求a+b的值；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（3）若对 b∈R，函数f（x）至多有两个零点，求a的取值范围．
19．（17分）（2024秋 安徽期中）定义数列{an}为“阶梯数列”：，，，…，．
（1）求“阶梯数列”中，an+1与an的递推关系；
（2）证明：对k∈N*，数列{a2k﹣1}为递减数列；
（3）证明：．
2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅰ）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2024 太原模拟）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，0） B．（0，3） C．（1，3） D．（﹣2，+∞）
【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，
则A∩B＝（0，3）．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）（2025春 宝安区月考）若，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．i C．1﹣i D．﹣i
【考点】复数的除法运算．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解：由，得．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）（2025 安顺模拟）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在如图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【考点】平均数；中位数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断．
【解答】解：根据题意，由数据分布图知，
数据的众数为c，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数c为右起第二个矩形下底边的中点值，
数据的中位数为b，直线x＝b左右两边矩形面积相等，而直线x＝c左边矩形面积大于右边矩形面积，则b＜c，
数据的平均数为a，由于数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b，即a＜b，
所以a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查由数据分布图分析数据，注意平均数、中位数、众数的定义，属于基础题．
4．（5分）（2024 青原区校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及点Q（﹣2，3），则下列说法正确的是（　　）
A．直线kx﹣y﹣2k+1＝0与圆C始终有两个交点
B．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为
C．若点P（m，m+1）在圆C上，则直线PQ的斜率为
D．圆C与x轴相切
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意分别求出圆心C（2，7），半径，由直线kx﹣y﹣2k+1＝0过定点（2，1）可对A判断；利用圆外一点到圆上距离知识可对B判断；由P（m，m+1）在圆上可求得m＝4，即可对C判断；根据圆心C（2，7）到x轴的距离从而可对D判断．
【解答】解：依题意，圆C：圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0，
整理得：（x﹣2）2+（y﹣7）2＝8，
故圆心C（2，7），半径，
对于A，直线kx﹣y﹣2k+1＝0，整理得：k（x﹣2）+1﹣y＝0，故该直线恒过定点（2，1），
而点（2，1）在圆C外，
则过点（2，1）的直线与圆C可能相离，故A不正确；
对于B，，点Q在圆C外，由|CQ|﹣r≤|MQ|≤|CQ|+r得：，故B正确．
对于C，点P（m，m+1）在圆C上，则（m﹣2）2+（m﹣6）2＝8，解得m＝4，而点Q（﹣2，3），
则直线PQ的斜率为，故C不正确；
对于D，点C（2，7）到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与x轴相离，即圆C与x轴不相切，故D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：点和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5．（5分）（2022秋 黄山期末）已知，则tan2α＝（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】根据二倍角余弦公式、正切公式，同角三角函数的基本关系求解．
【解答】解：由，
解得tanα＝2，
所以，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
6．（5分）（2022秋 临夏州期中）等比数列的首项a1＝2004，公比，设Pn表示数列{an}前n项的积，则Pn中最大的是（　　）
A．P13 B．P12 C．P11 D．P10
【考点】数列递推式；等比数列的性质．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式和题意求出Pn，再与Pn﹣1作商化简后，判断出||与1的关系，可得到|Pn|单调性，分析Pn的符号，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}的首项为a1＝2004，公比q，
∴an＝a1qn﹣1＝2004×（）n﹣1，
∴当n为奇数时an＞0，当n为偶数时，an＜0，
∵当n≥2时，an＝2004×（）n﹣1，
∴当n≤11时，||＞1，此时|Pn|单调递增，
当n≥12时，||＜1，此时|Pn|单调递减，
又由P10＜0，P11＜0，P12＞P13＞0，
则P12是Pn中的最大值．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，利用作商法判断单调性是解题的关键，属于中档题．
7．（5分）（2023秋 阆中市校级月考）已知函数f（x）的定义域为R，f（0）＝2，且为奇函数，为偶函数，则（　　）
A．23 B．﹣22 C．﹣2 D．3
【考点】抽象函数的奇偶性；函数的奇偶性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，由函数的对称性分析函数的周期，结合函数的周期性求值即可．
【解答】解：根据题意，因为为奇函数，即，
又由为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
令，则，
所以f（1﹣t）＝﹣f（t），f（1﹣t）＝﹣f（t），f（﹣t）＝f（t﹣1），
所以﹣f（t+1﹣1）＝﹣f（t），
f（t+2）＝f（（t+1）+1）＝﹣f（t+1﹣1）＝﹣f（t），
则f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），
所以f（x）的周期T＝4，
因为f（0）＝2，
所以f（1）＝﹣f（0）＝﹣2，f（2）＝﹣f（0）＝﹣2，f（1）＝﹣f（0）＝﹣2，f（2）＝﹣f（0）＝﹣2，f（3）＝﹣f（1）＝2，f（4）＝f（0）＝2，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及函数的周期性，属于中档题．
8．（5分）（2024春 广安校级月考）设正四面体ABCD的棱长为a，下列对正四面体的有关描述：（1）该正四面体的外接球的表面积是；
（2）该正四面体的内切球的体积是；（3）该正四面体的体积是；（4）该正四面体相对棱所成角为90°．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．3
【考点】球的体积和表面积．
【专题】转化思想；综合法；球；运算求解．
【答案】C
【分析】根据正四面体的对称性与正方体的对称性，分割补形法，针对各个描述分别求解即可．
【解答】解：如图，可以将棱长为a的正四面体放置到棱长为的正方体中，
则棱长为a的正四面体的外接球的直径为棱长为的正方体的对角线，
所以正四面体的外接球半径R满足：，
所以四面体的外接球的表面积是．
如图，设底面正三角形BCD的中心为O，取CD中点E，
则，，
所以正四面体ABCD的体积．
设正四面体ABCD的内切球半径为r，
因为，所以，
所以正四面体ABCD内切球的体积为．
因为AE⊥CD，BE⊥CD，所以CD⊥平面ABE，所以CD⊥AB，
所以正四面体相对棱所成角为90°．
所以四个描述都正确．
故选：C．
【点评】本题考查正四面体的内切球与外接球问题的求解，正四面体的体积及对称性，化归转化思想，属中档题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2024春 太原期末）已知（1﹣x）10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则下列结论正确的是（　　）
A．a0＝1
B．a10＝1
C．
D．10+a1+2a2+3a3+4a4+…+10a10＝0
【考点】二项式系数的性质．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对x分别赋值﹣1，0，﹣2，可判断A、B、C三个选项，再对已知等式等号两端分别求导后，赋值x＝0，可判断D．
【解答】解：∵（1﹣x）10＝[（x+1）﹣2]10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，①
∴当x＝﹣1时，得a0＝210＝1024，A错误；
a10（﹣2）0＝1，B正确；
在①中，令x＝0，得a0+a1+a2+…+a10＝1，②
在①中，令x＝﹣2，得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10＝310，③
②﹣③，得2（a1+a3+…+a9）＝1﹣310，
∴a1+a3+…+a9，C正确；
对①式等号两端分别求导，得10（x﹣1）9＝a1+2a2（x+1）+…+10a10（x+1）9，
令x＝0，得﹣10＝a1+2a2+3a3+4a4+…+10a10，
∴10+a1+2a2+3a3+4a4+…+10a10＝0，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查二项式定理，着重考查赋值法的应用，属于中档题．
（多选）10．（6分）（2024春 堆龙德庆区校级期中）已知函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．时，f（x）取得最大值
C．f（x）在上单调递增
D．f（x）的对称中心坐标是
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；正弦函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AC
【分析】对函数化简变形后，根据正弦函数的性质逐个分析判断．
【解答】解：，
对于A，函数f（x）的最小正周期为T＝π，所以A正确，
对于B，当时，，此时函数没有取得最大值，所以B错误，
对于C，由，得，
因为y＝sinx在上单调递增，所以f（x）在上单调递增，所以C正确，
对于D，由，得，
所以f（x）的对称中心为，所以D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了三角恒等变换的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）（2024秋 金华月考）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，直线l交抛物线于A，B两点，则下列说法正确的是（　　）
A．当直线l过焦点时，以BF为直径的圆与x轴相切
B．存在直线l，使得A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称
C．若|AF|+|BF|＝16，则线段AB的中点M到x轴距离为8
D．当直线l过焦点时，则2|AF|+3|BF|的最小值
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由抛物线的定义可判断A；对于B，假设存在直线l，则依题意求出直线l的方程，再验证此时直线l与抛物线相交即可；由抛物线定义及中点公式可判断C；对于D，设直线l的方程，并与抛物线方程联立，由韦达定理及基本不等式可判断D．
【解答】解：依题意，抛物线的标准方程为x2＝8y，所以F（0，2），准线方程为y＝﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
对于A，因为直线l过焦点，由抛物线的定义有|BF|＝y2+2，则以BF为直径的圆半径为，
线段BF的中点坐标为，其到x轴的距离为，
所以BF为直径的圆与x轴相切，故A正确；
对于B，设直线l的方程为y＝kx+m，联立，消去y得x2﹣8kx﹣8m＝0，
则x1+x2＝8k，所以，
所以AB中点C坐标为（4k，4k2+m），
若A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称，则，则，
代入x2﹣8kx﹣8m＝0得x2﹣4x﹣8＝0，Δ＝16+32＝48＞0，
即当直线l方程为时，A，B两点关于2x+y﹣6＝0对称，故B正确；
对于C，由抛物线定义得|AF|＝y1+2，|BF|＝y2+2，
因为|AF|+|BF|＝16，所以y1+y2＝16﹣4＝12，
所以AB中点M纵坐标为6，则点M到x轴的距离为6，故C错；
对于D，因为直线l过焦点，且斜率一定存在，则设l方程为y＝kx+2，
联立，消去y得x2﹣8kx﹣16＝0，
所以x1x2＝﹣16，所以，
所以2|AF|+3|BF|＝2（y1+2）+3（y2+2）
，
当且仅当2y1＝3y2时，即时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2025春 浦东新区校级期中）已知向量与不平行，与平行，则实数k＝ 　　 ．
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据向量共线的性质求解即可．
【解答】解：因为向量与不平行，与平行，
所以存在实数λ，使得λ（），
故，解得k＝λ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量共线的性质应用，属于基础题．
13．（5分）（2023秋 湖南月考）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线在第二象限的交点为A，在△AF1F2中，|F1A|＝|F1F2|，∠AF2F1＝30°，则双曲线C的离心率是 　　 ．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义，以及性质，即可求解．
【解答】解：因为|F1A|＝|F1F2|，
所以|AF1|＝|F1F2|＝2c，
由双曲线的定义知|AF2|﹣|AF1|＝2a，所以|AF2|＝2a+2c，
令M为AF2的中点，
所以，
又∠AF2F1＝30°，
得|F1M|＝c，
所以在直角△F1MF2中，，即c2+（a+c）2＝（2c）2，
得a2﹣2c2+2ac＝0，
所以1﹣2e2+2e＝0，解得，
因为e＞0，
所以双曲线C的离心率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
14．（5分）（2025春 石家庄期中）一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为pn，则p3＝　　 ；　　 ．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】；．
【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、等比数列性质求解．
【解答】解：由题意，得p1＝1，，
，
由，
设，则，，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，，
∴．
故答案为：；．
【点评】本题考查概率与数列的综合等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，解决问题能力，是中档题．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2022 青羊区校级模拟）在世界读书日期间．某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人．
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
城镇居民 农村居民 合计
经常阅读 100 30
不经常阅读
合计 200
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率．
附：K2，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）
城镇居民 农村居民 合计
经常阅读 100 30 130
不经常阅读 40 30 70
合计 140 60 200
有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．
（2）．
【分析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出K2，与临界值表中的数据对照后可得结论；
（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求．
【解答】解：（1）由题意可得：
城镇居民 农村居民 合计
经常阅读 100 30 130
不经常阅读 40 30 70
合计 140 60 200
则K28.477＞6.635，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．
（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人，
采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为A、B、C、D、E；不经常阅读的有2人，记为X、Y，
从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为AB，AC，AD，AE，AX，AY，BC，BD，BE，BX，BY，CD，CE，CX，CY，DE，DX，DY，EX，EY，XY，共21种，
被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有10种，
∴所求概率为P．
【点评】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．（15分）（2024 大同开学）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝1，，AD⊥PC，PB⊥BC．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为1，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）通过证明AD⊥PB，结合PB⊥BC来证得PB⊥平面ABCD，从而可得PB⊥CD．
（2）根据四棱锥P﹣ABCD的体积求得PB，建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线PA与平面PCD所成夹角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：设O是CD的中点，连接OB，由于AB∥OD，AB＝OD，
所以四边形ABOD是平行四边形，所以AD∥OB，AD＝OB＝1，
由于，所以OB2+BC2＝OC2，
所以OB⊥BC，
所以AD⊥BC，由于AD⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以A D⊥平面PBC，由于PB 平面PBC，
所以AD⊥PB，
由于PB⊥BC，AD，BC 平面ABCD，且直线AD与直线BC相交，
所以PB⊥平面ABCD，而CD 平面ABCD，
故PB⊥CD．
（2）过A作AE⊥CD，垂足为E，过B作BF⊥CD，垂足为F，
则四边形ABFE是矩形，，
所以，
依题意，PB＝2，
由于PB⊥平面ABCD，AB，BF 平面ABCD，
所以PB⊥AB，PB⊥BF，
则BA，BF，PB两两相互垂直，以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设平面PCD的法向量为，
则，
故可设，
设直线PA与平面PCD所成角为θ，
则．
【点评】本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
17．（15分）（2024秋 福州期中）已知椭圆C：1（a＞b＞0），C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且|DE|＝3．
（1）求C的方程；
（2）若M，N是C上任意两点，
①若点M（1，），点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设△MA1G和△NA2G的面积分别为S1，S2，若2S1﹣2S2＝3，求线段MN的长度；
②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求证：线段MN的长度不大于．
【考点】直线与椭圆的综合；根据abc及其关系式求椭圆的标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①3；
②证明过程见解析．
【分析】（1）由题意，根据椭圆离心率及弦长计算求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；
（2）①结合题目所给信息求出点N的坐标，进而可得弦长；
②设出直线MN的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出点H的坐标，根据P，Q，M，N四点共圆，得到|HM| |HN|＝|HP| |HQ|，利用弦长公式再进行求证即可．
【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为，
所以，
因为|DE|＝3，
所以点在椭圆上，
此时，
解得a＝2，，
则椭圆C的方程为；
（2）①由（1）得A2（2，0），
连结MA2，
因为，，
所以，
则，
所以ON∥MA2，
则直线ON的方程为，
联立，
解得x＝1，y或x＝﹣1，y（舍去），
即，
所以|MN|＝3；
②证明：设直线MN的方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），H（x0，y0），
则Q（﹣x3，﹣y3），
联立，消去y并整理得（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12＝0，
此时Δ＝64m2k2+16（m2﹣3）（4k2+3）＞0，
解得m2﹣3﹣4k2＜0，
由韦达定理得，，
所以，
则中点H的坐标为，
所以，
此时直线OH的方程为，
因为P，Q，M，N四点共圆，
所以|HM| |HN|＝|HP| |HQ|，
因为|HM| |HN|12（1+k2），
联立，
解得，
此时|HP| |HQ|＝（1）||＝（9+16k2），
所以12（1+k2）（9+16k2），
解得，
因为m2＜3+4k2＝6，
所以m∈（，），
则．
故．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于难题．
18．（17分）（2025 浙江模拟）已知a，b∈R，函数f（x）＝xe﹣x﹣aex+b．
（1）若曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝2（x+1），求a+b的值；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（3）若对 b∈R，函数f（x）至多有两个零点，求a的取值范围．
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程；不等式恒成立的问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）0；
（2）（﹣∞，]．
（3）．
【分析】（1）由导数的几何意义可得a，b的值，进而可得a+b的值；
（2）由题意可得f′（x）≥0，参变量分离可得a≤（1﹣x）e﹣2x，令g（x）＝（1﹣x）e﹣2x，利用导数求出g（x）的单调性，从而可得g（x）的最小值，进而可得a的取值范围；
（3）由题意可得f'（x）＝（1﹣x）e﹣x﹣aex至多有一个零点，即曲线y＝g（x）与直线y＝a至多一个交点，由（2）中结论即可求解a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得f（0）＝b﹣a＝2．
f'（x）＝（1﹣x）e﹣x﹣aex，故f′（0）＝1﹣a＝2，得a＝﹣1，
所以b＝1，a+b＝0．
（2）若函数f（x）在R上单调递增，
则f'（x）＝（1﹣x）e﹣x﹣aex≥0 a≤（1﹣x）e﹣2x，
令g（x）＝（1﹣x）e﹣2x，g'（x）＝（2x﹣3）e﹣2x，
故当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减：当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．
因此，
所以，经检验，符合题意，
所以a的取值范围是（﹣∞，]．
（3）由题意可得f'（x）＝（1﹣x）e﹣x﹣aex至多有一个零点，
即曲线y＝g（x）与直线y＝a至多一个交点．
由（2）得g（x）在上单调递减，在上单调递增．
而当时，，
又当x→→∞时，g（x）→+∞．
所以．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与最值，函数零点个数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（17分）（2024秋 安徽期中）定义数列{an}为“阶梯数列”：，，，…，．
（1）求“阶梯数列”中，an+1与an的递推关系；
（2）证明：对k∈N*，数列{a2k﹣1}为递减数列；
（3）证明：．
【考点】数列递推式；数列的单调性．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解；新定义类．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据阶梯数列的形式结构求解；
（2）作差a2k+1﹣a2k﹣1，运算可得，累乘可得，得证；
（3）作差，可得，再证明，可得，累乘可得，得证．
【解答】解：（1）由阶梯数列的定义：，，，…，，
可得a2，a3，…，．
（2）证明：根据题意，由（1）的结论，，
又由a1＝1＞0，则0＜an≤1，
a2k+1，a2k，a2k﹣1，a2k﹣2，
则
，
变形可得：，
同理，
变形可得：，
即，
由，，
∴a2k+1﹣a2k﹣1＜0，
故对k∈N*，{a2k﹣1}为递减数列．
（3）证明：由（1）的结论，，
即有ak+2，ak+1，a2k+2，a2k，
则，
∴，
又对，
由（2）知a2k﹣1﹣a2k+1＞0，
故，
又，1≥an＞0，
所以，
故对，
∴，
∴，
∴，
当k＝1时，，
综上可得：．
【点评】本题考查数列递推公式的应用，注意分析“阶梯数列”的特点，属于难题．
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