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2025北师大版数学必修第二册
§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
A级必备知识基础练
1.[探究点一]已知角α的终边与单位圆交于点,-,则sin α的值为(　　)
A. B.-
C.- D.
2.[探究点一]已知角α的终边经过点P(m,-3),且cos α=-,则m=(　　)
A.- B.
C.-4 D.4
3.[探究点二]使lg(sin θcos θ)+有意义的θ的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.[探究点五]函数y=4sin x+3在[-π,π]上的单调递增区间为(　　)
A.-π,- B.-
C.-π, D.,π
5.[探究点四]y=3cos x,x∈-的最大值与最小值分别为(　　)
A.3,-3 B.3,-
C.3, D.3,-
6.[探究点一]设角θ的终边过点P(-3,4),则sin θ+2cos θ=　　　　　.
7.[探究点二]已知α为第二象限角,若sin=-sin,则为第　　　　　象限角.
8.[探究点一]已知角α的终边上一点P(-,y),y≠0,且sin α=y,求cos α的值.
9.[探究点四]已知函数y=acos x+b的最大值是0,最小值是-4,求a,b的值.
B级关键能力提升练
10.已知a=cos,b=sin,c=0.3-2,则(　　)
A.c>a>b B.b>c>a
C.a>c>b D.c>b>a
11.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.y=|sin x|的定义域为R
B.y=3sin x+1的最小值为1
C.y=-sin x为周期函数
D.y=sin x-1的单调递增区间为2kπ+,2kπ+(k∈Z)
12.已知一电子狗从点P(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q,则电子狗在点Q的坐标为　　　　　.
13.已知函数f(x)=.
(1)判定函数f(x)是否为周期函数;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈时,求f(x)的值域.
C级学科素养创新练
14.(多选)定义函数f(x)=cos(sin x)为“正余弦”函数,则下列说法中正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.2π是f(x)的一个周期
C.f(x)在0,上单调递减
D.f(x)的最小值为-1
§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义　4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
1.B　由定义知sin α=-,故选B.
2.C　由题可知cos α==-,解得m=-4(m=4不合题意,舍去).
3.C　由题意有sin θcos θ>0,且-cos θ≥0,
∴cos θ<0,sin θ<0,∴θ为第三象限角.
4.B　易知y=sin x的单调递增区间就是y=4sin x+3的单调递增区间,故y=4sin x+3在[-π,π]上的单调递增区间为-.
5.A　当x=0时,ymax=3×1=3,当x=π时,ymin=3×(-1)=-3.
6.-　∵角θ的终边过点P(-3,4),
∴sin θ=,cos θ=-,∴sin θ+2cos θ=-.
7.三　α为第二象限角,易知为第一或第三象限角.
又sin=-sin,
∴为第三象限角.
8.解 由sin α=y,y≠0,
得y2=5,所以y=±.
当y=时,cos α=
==-;
当y=-时,cos α=
==-.
综上,cos α=-.
9.解 易知-1≤cos x≤1,故由题可得,解得
当a<0时,
解得
当a=0时,不符合题意.
∴a=2,b=-2,或a=b=-2.
10.A　因为1>cos>cos=sin>sin>0,c=0.3-2=>1,所以c>a>b.
11.AC　A,C显然正确;对于B,y=3sin x+1的最小值为-3+1=-2,故B错误;对于D,y=sin x-1的单调递增区间为2kπ-,2kπ+,k∈Z,故D错误.
12.　如图,从点P(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q,则∠QOM=.
又OQ=1,所以|OM|=,|QM|=.
又点Q在第三象限,故Q.
13.解(1)函数f(x)的定义域是R.
因为f(x+2π)==f(x),
所以f(x)是周期函数.
(2)由正弦函数的基本性质,可知在区间2kπ-,2kπ+(k∈Z)上,函数y=sin x是单调递增的,而此时函数h(x)=2-sin x是单调递减的,从而可知此时函数f(x)是单调递增的,故可知函数f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z).
(3)设t=sin xx∈-,
则t∈-,1,所以1≤2-t<,则≤1.
故f(x)的值域为.
14.ABC　令t=sin x.∵x∈R,则t∈[-1,1],
∴cos t有意义,故A正确;
f(x+2π)=cos[sin(x+2π)]=cos(sin x)=f(x),
故B正确;
t=sin x,当x∈0,时,t∈[0,1],且其在0,上单调递增,而y=cos t在[0,1]上单调递减,故f(x)在0,上单调递减,故C正确;
由t=sin x∈[-1,1],而y=cos t在[-1,0]上单调递增,[0,1]上单调递减,
所以f(x)的最小值为cos 1,故D错误.故选ABC.
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