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2025北师大版数学必修第二册
7.3　正切函数的图象与性质
A级必备知识基础练
1.[探究点四]函数y=2tan-3x+的最小正周期是(　　)
A. B. C. D.π
2.[探究点一]函数y=3tan2x+的定义域是 (　　)
A.xx≠kπ+,k∈Z
B.xx≠,k∈Z
C.xx≠,k∈Z
D.xx≠,k∈Z
3.[探究点二](多选)下列说法正确的是(　　)
A.正切函数是周期函数,最小正周期为π
B.正切函数的图象是连续的
C.直线x=kπ+(k∈Z)是正切曲线的渐近线
D.把y=tan x,x∈-的图象向左(或右)平行移动kπ(k∈Z)个单位长度,得到的图象与y=tan x的图象重合
4.[探究点四]我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”,“平行曲线”具有性质:任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段长度相等.已知函数f(x)=tanωx+(ω>0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2 022相交于A,B两点,且|AB|=2,则f=(　　)
A. B.
C.-3 D.--3
5.[探究点三]函数y=tan-3x+的单调递减区间为　　　　　.
6.[探究点一]函数y=tan x≤x≤,且x≠的值域是　　　　　.
7.[探究点三、四]画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.
B级关键能力提升练
8.若不等式tan x>a在x∈上恒成立,则a的取值范围为(　　)
A.(1,+∞) B.(-∞,1]
C.(-∞,-1) D.(-∞,-1]
9.若函数y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为,且-<θ<,则θ的值是　　　　　.
10.有两个函数f(x)=asinkx+,g(x)=btankx-(k>0),它们的周期之和为,且f=g,f=-g+1.求这两个函数的解析式,并求g(x)的单调递增区间.
C级学科素养创新练
11.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.
7.3　正切函数的图象与性质
1.B　T=.
2.C　要使函数有意义,则2x+≠kπ+,k∈Z,
即x≠,k∈Z,
所以函数的定义域为xx≠,k∈Z,故选C.
3.ACD　正切函数是周期函数,周期为kπ(k∈Z),最小正周期为π;正切曲线是由相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)(称为渐近线)所隔开的无穷多支曲线组成的,故选ACD.
4.A　由题意知,函数f(x)的最小正周期T=|AB|=2,所以=2,解得ω=,所以f(x)=tan,所以f=tan=tan.
5.-(k∈Z)　y=tan-3x+=-tan3x-.
由-+kπ<3x-+kπ(k∈Z),
得-故函数y=tan-3x+的单调递减区间为-(k∈Z).
6.(-∞,-1]∪[1,+∞)　函数y=tan x在上单调递增,在上单调递增,所以函数的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞).
7.解 由y=|tan x|得,
y=
其图象如图所示.
由图象可知函数y=|tan x|是偶函数.
函数y=|tan x|的最小正周期T=π,
函数y=|tan x|的单调递增区间为kπ,kπ+(k∈Z),
单调递减区间为kπ-,kπ(k∈Z).
8.D　因为函数y=tan x在区间上单调递增,
所以tan x>tan=-1,所以a≤-1.
9.-　令2x+θ=(k∈Z),由对称中心为,得θ=(k∈Z).
又θ∈,故θ=-.
10.解 根据题意,可得
解得
故f(x)=sin2x+,g(x)=tan2x-.
当nπ-<2x-即所以g(x)的单调递增区间为(n∈Z).
11.解(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=x-2-.
∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,
∴当x=时,f(x)min=-;
当x=-1时,f(x)max=.
(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,
∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,
即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是-+kπ,-+kπ∪+kπ,+kπ,k∈Z.
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