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2025北师大版数学必修第二册
习题课1——正弦函数、余弦函数的图象与性质
A级必备知识基础练
1.[探究点一、二]函数y=cos2x+是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的奇函数
D.最小正周期为2π的偶函数
2.[探究点五]函数y=sinx++cos-x的最大值为(　　)
A.2 B.
C. D.1
3.[探究点五]已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于 (　　)
A. B.
C.2 D.3
4.[探究点二]函数f(x)=-1sin x的部分图象大致形状是(　　)
5.[探究点一][2021全国甲,文15]已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　　　.
6.[探究点一]已知函数f(x)=2sin+1.
(1)当x=时,求f(x)的值;
(2)若存在区间[a,b](a,b∈R,且a7.[探究点一、二、四、五]画出函数y=cos x+|cos x|的图象,并根据图象讨论其性质.
B级关键能力提升练
8.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点,0中心对称,且-<φ<,则函数y=fx+为 (　　)
A.奇函数且在0,内单调递增
B.偶函数且在0,内单调递增
C.偶函数且在0,内单调递减
D.奇函数且在0,内单调递减
9.[2021新高考Ⅰ,4]下列区间中,函数f(x)=7sinx-单调递增的区间是(　　)
A.0, B.,π
C.π, D.,2π
10.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中0<φ<2π,若f(x)≤f对x∈R恒成立,且f>f(π),则φ等于　　　　.
C级学科素养创新练
11.已知函数f(x)=asinx++a+b.
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.
习题课1——正弦函数、余弦函数的图象与性质
1.A　函数y=cos2x+=-sin 2x,故为奇函数且最小正周期为=π.故选A.
2.A　因为cos-x=sinx+,所以y=sinx++cos-x=2sinx+,显然其最大值为2.故选A.
3.B　因为ω>0,-≤x≤,所以-≤ωx≤.
由已知条件知-≤-,所以ω≥.
4.C　函数f(x)=-1sin x的定义域为R,关于原点对称,
f(-x)=-1sin(-x)
=--1sin x=--1sin x
=-2--1sin x=-1-sin x
=-1sin x=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,故排除选项B,D;
当x>0时,令f(x)=-1sin x=0可得x=0或x=kπ,k∈Z,
所以x>0时,两个相邻的零点为x=0和x=π,
当00,f(x)=-1sin x<0,故排除选项A.故选C.
5.-　设f(x)的最小正周期为T,由图象可知,T=,则T=π,所以ω=2.
由2cos+φ=2,得φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=2cos2x-,则f=2cos=-.
6.解(1)当x=时,f(x)=2sin+1=2sin(3π)+1=2sin π+1=1.
(2)f(x)=0 sin=- x=kπ-,k∈Z或x=kπ-π,k∈Z,
即函数f(x)的零点间隔依次为.
故若y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,
则b-a的最小值为2×+3×.
7.解y=cos x+|cos x|=利用五点法画出函数在上的图象,如图所示.
将图中的图象左右平移2kπ,k∈Z个单位长度,即得函数y=cos x+|cos x|的图象(图略).
由图象可知函数具有以下性质:
定义域:R;
值域:[0,1];
奇偶性:偶函数;
周期性:最小正周期为2π;
单调性:在区间,k∈Z上单调递减,在区间,k∈Z上单调递增.
8.D　因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点,0中心对称,所以+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z.
又因为-<φ<,所以φ=-,则y=fx+=cos2x+-=cos2x+=-sin 2x,所以该函数为奇函数且在区间0,上单调递减,故选D.
9.A　由题意知x-,k∈Z,即x∈,k∈Z.当k=0时,函数f(x)=7sinx-的单调递增区间为,
因为0,∈,
所以0,是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A.
10.　由f(x)≤f对x∈R恒成立可知x=是函数f(x)的对称轴,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,
即φ=+kπ,k∈Z,由f>f(π),
得sin(π+φ)>sin(2π+φ),所以-sin φ>sin φ,
即sin φ<0,
又因为0<φ<2π,所以π<φ<2π,
所以当k=1时,φ=.
11.解(1)当a=-1时,f(x)=-sinx++b-1,
令2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为2kπ+,2kπ+,k∈Z.
(2)因为0≤x≤π,所以≤x+,
所以-≤sinx+≤1,依题意知a≠0.
①当a>0时,
所以a=3-3,b=5.
②当a<0时,
所以a=3-3,b=8.
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