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2025北师大版数学必修第二册
§3　从速度的倍数到向量的数乘
3.1　向量的数乘运算　3.2　向量的数乘与向量共线的关系
A级必备知识基础练
1.[探究点二]化简(2a+8b)-(4a-2b)的结果是(　　)
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
2.[探究点一]设m是非零向量,μ是非零实数,下列结论中正确的是(　　)
A.m与μm的方向相反
B.m与μ2m的方向相同
C.|-μm|≥|m|
D.|-μm|≥|μ|m
3.[探究点三]已知a,b是不共线的向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则(　　)
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
4.[探究点三]已知e1,e2是两个非零不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a与b是共线向量,求实数k的值.
B级关键能力提升练
5.如图,已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线与AB,AD所在直线分别交于点M,N,满足=m=n(m>0,n>0),若mn=,则的值为(　　)
A. B. C. D.
6.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为 (　　)
A.-1 B.2
C.-2或1 D.-1或2
7.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是　　　.
8.设O为△ABC内任一点,且满足+2+3=0.
(1)若D,E分别是边BC,CA的中点,求证:D,E,O三点共线;
(2)求△ABC与△AOC的面积之比.
C级学科素养创新练
9.过△ABC的重心G任作一直线分别交AB,AC于点D,E,若=x=y,且xy≠0,试求的值.
§3　从速度的倍数到向量的数乘
3.1　向量的数乘运算
3.2　向量的数乘与向量共线的关系
1.B　原式=(a+4b-4a+2b)=(-3a+6b)=-a+2b,故选B.
2.B　当μ>0时,m与μm的方向相同,当μ<0时,m与μm的方向相反,故A错误;由于μ2>0,故m与μ2m的方向相同,故B正确;|-μm|=|-μ||m|,由于|-μ|与1的大小关系不确定,故|-μm|与|m|的大小关系不确定,故C错误;|μ|m是向量,而|-μm|是实数,两者不能比较大小,故D错误.故选B.
3.B　∵=a+5b,=-2a+8b+3(a-b)=a+5b,∴,故A,B,D三点共线.故选B.
4.解 ∵a与b是共线向量,∴a=λb,
∴2e1-e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2,
∴∴k=-2.
5.D　因为,
又因为=m=n(m>0,n>0),
故,
又因为O,M,N三点共线,所以=1,即m+=2.
由解得.故选D.
6.D　因为A,B,C三点共线,
所以存在唯一一个实数k使=k.
因为=λa+2b,=a+(λ-1)b,
所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].
因为a与b不共线,
所以
解得λ=2或λ=-1.
7.梯形　因为=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2,
所以AD∥BC,且AD=2BC.所以四边形ABCD是梯形.
8.(1)证明 如图,
∵D,E分别是BC,CA的中点,∴=2=2.
∵+2+3=()+2()=2(+2)=0,
∴2=0,∴共线.
又OD与OE有公共点O,∴D,E,O三点共线.
(2)解 由(1)知2||=||,
∴S△AOC=2S△COE=2×S△CDE
=2×S△ABC=S△ABC,
∴=3.
9.解如图,设=a,=b,则(a+b)=(a+b).
∴a-b,
=xa-yb.
∵共线,∴存在实数λ,使=λ,
∴a-b=xλa-yλb,
∴
消去λ得,
即=3.
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