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2025北师大版数学必修第二册
§6　平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
第1课时　余弦定理
A级必备知识基础练
1.[探究点一]在△ABC中,若b2=ac且c=2a,则cos B=(　　)
A. B.
C. D.
2.[探究点一]在△ABC中,若a=3,b=8,C=60°,则cos A=　　　　　.
3.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值是　　　　　.
4.[探究点一]在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.
(1)求角C的度数;
(2)求AB的长.
B级关键能力提升练
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=,a=4,则bc的最大值为(　　)
A. B.16 C. D.32
6.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
C级学科素养创新练
7.已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个:
①A=;②cos B=-;③a=7;④b=3.
(1)请指出这三个条件,并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
§6　平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
第1课时　余弦定理
1.B　∵b2=ac,c=2a,∴b2=2a2,c2=4a2,
∴cos B=.
2.　由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+64-2×3×8×=49,
又c>0,所以c=7.
所以cos A=.
3.　bccos A+accos B+abcos C
=
=×(32+42+62)=.
4.解 (1)cos C=cos [π-(A+B)]
=-cos(A+B)=-.
又C∈(0,π),∴C=.
(2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根,
∴
∴AB2=a2+b2-2abcos =(a+b)2-ab=10,
∴AB=.
5.B　由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,因为A=,a=4,所以16=b2+c2-bc,因为b2+c2≥2bc,所以16+bc≥2bc,即bc≤16,当且仅当b=c=4时,等号成立.故选B.
6.解 如图所示,连接BD,则四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CDB=AB·ADsin A+BC·CDsin C.
∵A+C=π,∴sin A=sin C.
∴S=(AB·AD+BC·CD)sin A
=×(2×4+6×4)sin A
=16sin A.
在△ABD中,由余弦定理得
BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A
=22+42-2×2×4cos A
=20-16cos A,
在△CDB中,
BD2=CB2+CD2-2CB·CDcos C
=62+42-2×6×4cos C
=52-48cos C,
∴20-16cos A=52-48cos C,
∵cos C=-cos A,
∴64cos A=-32,cos A=-,
∵A∈(0,π),∴A=,
∴S=16sin=8.
7.解(1)△ABC同时满足①③④.理由如下:
因为cos B=-<-,且B∈(0,π),所以B>.
若△ABC同时满足①②,则A+B>π,显然不成立.
所以△ABC只能同时满足③,④.
所以a>b,所以A>B,
故△ABC不满足②.
故△ABC满足①③④.
(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
即72=32+c2-2×3×c×.
解得c=8或c=-5(舍去).
所以△ABC的面积S=bcsin A=6.
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