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2025北师大版数学必修第二册
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
A级必备知识基础练
1.[探究点一]已知点A(-2,-3),B(19,4),C(-1,-6),则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2.[探究点二]在四边形ABCD中,若=(1,3),=(-6,2),则该四边形的面积为(　　)
A. B.2 C.5 D.10
3.[探究点二]一条河宽为8 000 m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为　　　　 h.
4.[探究点一]已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则()·=　　　　　.
5.[探究点一]如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.
B级关键能力提升练
6.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3=0,则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5
7.如图所示,两根固定的光滑硬杆OA,OB成θ角,在杆上各套一小环P,Q,且P,Q用轻线相连.现用恒力F沿方向拉环Q,则当两环稳定时,轻线上的拉力的大小为　　　　　.
8.如图,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DP⊥EF.
9.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360 N,则该学生的体重(单位:kg)约为多少 (参考数据:取重力加速度大小为10 m/s2,≈1.732)
C级学科素养创新练
10.已知某河流河水自西向东流速大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且|v2|= m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
1.C　=(19,4)-(-2,-3)=(21,7),
=(-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3),
=21-21=0,∴.
则∠A=90°,又||≠||,
∴△ABC为直角三角形.
2.D　∵=0,∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积为|||=×2=10.
3.0.5　如图,不妨设水流的速度为v2,v实际=v船+v水=v1+v2,
|v1|=20,|v2|=12,
∴|v实际|=
==16(km/h).
∴所需时间t==0.5(h).
4.-　如图,以A为坐标原点,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),D(0,1),
∴C(2,1).
∵E,F分别为BC,CD的中点,
∴E2,,F(1,1),
∴=3,,=(-2,1),
∴()·=3×(-2)+×1=-.
5.证明 设=a,=b,=e,=c,=d,
则a=e+c,b=e+d,
所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2,
由条件知,a2=c2-d2+b2,
所以e·c=e·d,
即e·(c-d)=0,即=0,
所以AD⊥BC.
6.B　如图,D为BC边的中点,
则).
因为3=0,
所以3=2,
所以,
所以S△ABM=S△ABD=S△ABC.
7.　对受力进行分析,依题意,重力可以忽略不计,记Q受轻线的拉力为T,由于两环稳定时受力平衡,只能是轻线与OA杆垂直,即轻线与OB的夹角为-θ,故|T|=.
8.证明 (方法一)设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a,
∴=()·()
=
=1×a×cos 180°+1×(1-a)×cos 90°+a×a×cos 45°+a×(1-a)×cos 45°=-a+a2+a(1-a)=0.
∴,即DP⊥EF.
(方法二)如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
设正方形ABCD的边长为1,
AP=λ(0<λ<),
则D(0,1),Pλ,λ,
Eλ,0,F1,λ.
∴=λ,λ-1,=1-λ,λ.
∴λ-λ2+λ2-λ=0,
∴,
即DP⊥EF.
9.解由题作出学生处于如图所示的平衡状态受力示意图,记F为F1与F2的合力,则有|G|=|F|,其中|G|=mg,m(单位:kg)为学生的体重,
因为|F1|=|F2|=360 N,F1与F2的夹角为60°,
所以|F|=|F1+F2|==360 N.
又g取10 m/s2,
所以10m=360,m=36,
把≈1.732代入,可得m≈62.
故该学生体重约为62 kg.
10.解如图①,设=v0,=v1,=v2,
则由题意知v2=v0+v1,||=1,
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.
图①
图②
(1)由此人朝正南方向游,得四边形OACB为矩形,且||=AC=,如图②所示,则在直角三角形OAC中,|v2|=OC==2(m/s).
因为tan∠AOC=,且α=∠AOC∈,
所以α=.
故他实际前进方向与水流方向的夹角α为,v2的大小为2 m/s.
图③
(2)由题意知∠OCB=,且|v2|=OC=,BC=1,如图③所示,
则在直角三角形OBC中,|v1|=OB==2.
因为tan∠BOC=,∠BOC∈,
所以∠BOC=,
则β=∠BOA=.
故他游泳的方向与水流方向的夹角β为,v1的大小为2 m/s.
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