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2025北师大版数学必修第二册
§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
A级必备知识基础练
1.[探究点二]已知sin α=,α∈0,,则cos+α等于(　　)
A. B.
C.- D.-
2.[探究点二]已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=,sin β=-,则cos(α-β)的值为(　　)
A.- B.- C. D.
3.[探究点二]若α∈(0,π),且cosα+=,则cos α等于(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究点一]化简:cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)sin(α+5°)=　　　　.
5.[探究点三]已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,π,α+β∈,2π,求角β的值.
6.[探究点三]已知tan α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求β的值.
B级关键能力提升练
7.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为(　　)
A. B.- C. D.-
8.已知tan αtan β=2,cos(α+β)=-,则cos(α-β)=(　　)
A. B.- C. D.-
9.在△ABC中,A,B,C为三个内角,向量p=(cos B,-sin B),q=(cos C,sin C),且(q-2p)⊥q,则A=　　　　　.
10.已知△ABC中,sin(A+B)=,cos B=-,则sin B=　　　　,cos A=　　　　.
11.若0<α<,-<β<0,cos,cos=,则sin=　　　　　,cosα+=　　　　　.
12.若α∈,π,β∈0,,cos(α-β)=-,tan α=-,求cos β的值.
C级学科素养创新练
13.化简:=　　　　.
14.在平面直角坐标系中,已知角α,β的顶点都在坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,角α的终边上有一点A,坐标为(1,-1).
(1)求cosα+的值;
(2)若角β满足下列三个条件之一:
①锐角β满足tan β=2;②锐角β的终边在直线y=2x上;③角β的终边与的终边相同.
请从上述三个条件中任选一个,求cos(α-β)的值.
§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
1.B　∵α∈0,,∴cos α>0,∴cos α=,∴cos+α=cos2π-+α=cosα-=cos αcos+sin αsin.
2.A　∵α为锐角,且cos α=,∴sin α=.∵β为第三象限角,且sin β=-,∴cos β=-=-,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×-+×-=-.
3.C　因为α∈(0,π)且cosα+=,所以α+∈0,,sinα+=.cos α=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin.
4.　原式=cos [(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=.
5.解由α-β∈,π,cos(α-β)=-,
得sin(α-β)=.
由α+β∈,2π,且cos(α+β)=,
得sin(α+β)=-.
∴cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×-+-×=-1.
又α+β∈,2π,α-β∈,π,∴2β∈.
∴2β=π,则β=.
6.解因为α∈0,,tan α=4,
所以sin α=4cos α, ①
又sin2α+cos2α=1, ②
由①②得sin α=,cos α=.
因为α+β∈(0,π),cos(α+β)=-,
所以sin(α+β)=,
所以cos β=cos [(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×.
又0<β<,所以β=.
7.A　∵α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,∴sin α=,sin(α+β)=,∴cos(2π-β)=cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×.故选A.
8.A　由cos(α+β)=-,知cos αcos β-sin αsin β=-,
又tan αtan β=2=,
所以cos αcos β=,sin αsin β=,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.
故选A.
9.　因为(q-2p)⊥q,所以(q-2p)·q=0,
即|q|2-2p·q=0.
因为p=(cos B,-sin B),q=(cos C,sin C),所以cos2C+sin2C-2(cos Bcos C-sin Bsin C)=0,所以1-2cos(B+C)=0,所以cos(B+C)=,即cos A=-.
因为A∈(0,π),所以A=.
10.　在△ABC中,因为cos B=-<0,
所以B为钝角,则sin B=,
所以A+B∈,π,
由sin(A+B)=,得cos(A+B)=-,
所以cos A=cos [(A+B)-B]
=cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B
=-×-+.
11.　因为0<α<,所以+α<,
又cos,所以sin,
因为-<β<0,所以,
又cos,所以sin.
于是cos=cos =cos+αcos+sinsin.
12.解因为α∈,π,且tan α=-,
所以sin α=,cos α=-.
因为β∈0,,所以-β∈-,0.
又因为α∈,π,所以α-β∈(0,π).
又因为cos(α-β)=-,所以sin(α-β)=,
所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=-×-+.
13.　原式=
=
=
=
=.
14.解(1)角α终边上一点A(1,-1),根据三角函数定义得r=,∴sin α==-,cos α=,
∴cosα+=cos αcos-sin αsin×--=1.
(2)若选择①,∵tan β==2,∴sin β=2cos β.
又sin2β+cos2β=1,即(2cos β)2+cos2β=1,即5cos2β=1,
∴cos2β=.又β为锐角,∴cos β=,
∴sin β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+-×=-.
若选择②,∵锐角β的终边在直线y=2x上,
即角β的终边在第一象限,不妨在直线上取一点B(1,2),
根据三角函数的定义得r=,sin β=,cos β=,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+-×=-.
若选择③,∵角β的终边与π的终边相同,
且π=π=336×2π+,
∴角β与终边相同,∴sin β=sin=-sin=-,
cos β=cos=-cos=-,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×-+-×-=.
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