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2025北师大版数学必修第二册
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)
A.- B.
C.- D.
2.[探究点一]已知A+B=45°,则(1+tan A)(1+tan B)的值为(　　)
A.1 B.2
C.-2 D.不确定
3.[探究点一]设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的根,则tan(α+β)的值为(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
4.[探究点一](多选)下列式子结果为的是(　　)
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°
B.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)
C.
D.
5.[探究点二](多选)下列4个结论中,正确的是(　　)
A.对任意角α,cos(π+α)=cos α
B.存在角α和β,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C.存在无穷多个角α和β,使得sin(α+β)=sin αcos β-cos αsin β
D.对任意角α和β,都有tan(α+β)=
6.[探究点二]已知cos αcos β-sin αsin β=0,那么sin αcos β+cos αsin β=　　　　　.
7.[探究点二]在△ABC中,tan A=,tan B=-2,则C=　　　　　.
8.[探究点二]已知sin β=,β∈,π,且sin(α+β)=cos α,则cos β=　　　　　,tan(α+β)=　　　　　.
9.[探究点二]已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin 2α的值.
B级关键能力提升练
10.在平面直角坐标系中,角α,β∈R,且以Ox为始边,则“sin(α-β)=sin α-sin β”是“角α,β以Ox为终边”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
11.在△ABC中,若asin B=c-bcos A,则B=　　　　　.
12.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<0,-<β<0,则α+β的值为　　　　　.
13.已知cosx-=,x∈.
(1)求sin x的值;
(2)求sinx+的值.
C级学科素养创新练
14.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tantan β=2-同时成立 若存在,求出tan,tan β的值;若不存在,请说明理由.
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
1.D　原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D.
2.B　(1+tan A)(1+tan B)=1+(tan A+tan B)+tan Atan B=1+tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B=1+1-tan Atan B+tan Atan B=2.
3.A　由题意知tan α+tan β=3,tan αtan β=2,所以tan(α+β)==-3.
4.ABC　对于A,tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+tan 25°tan 35°=(1-tan 25°tan 35°)+tan 25°tan 35°=;对于B,2(sin 35°·cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin(35°+25°)=;对于C,原式==tan(45°+15°)=;对于D,原式=,故选ABC.
5.BC　cos(π+α)=-cos α,A错误;当β=2kπ,k∈Z时,cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β成立,故B正确;当α∈R,β=2kπ,k∈Z时,sin(α+β)=sin αcos β-cos αsin β成立,故C正确;当α+β=+kπ,k∈Z时,tan(α+β)=不成立,故D错误,故选BC.
6.±1　由已知得cos(α+β)=0,∴sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)=±1.
7.　tan(A+B)==-1,
∵A+B∈(0,π),∴A+B=,
∴C=π-(A+B)=.
8.-　-3　因为sin β=,β∈,π,
所以cos β=-,则tan β=-,
由sin(α+β)=cos α,得sin αcos β+sin βcos α=cos α,显然cos α≠0,则-tan α+=1,
解得tan α=-,则tan(α+β)==-3.
9.解因为<β<α<,
所以0<α-β<,π<α+β<.
又cos(α-β)=,sin(α+β)=-,
所以sin(α-β)=,
cos(α+β)=-=-=-.
所以sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=×-+×-=-.
10.B　若sin(α-β)=sin α-sin β,推不出角α,β以Ox为终边,如:α=β=,则sin(α-β)=0=sin α-sin β,故充分性不成立;
若角α,β以Ox为终边,则α=2k1π,β=2k2π(k1,k2∈Z),则sin(α-β)=sin[2(k1-k2)π]=0=sin α-sin β,故角α,β以Ox为终边能推出sin(α-β)=sin α-sin β,故必要性成立,所以“sin(α-β)=sin α-sin β”是“角α,β以Ox为终边”的必要不充分条件.故选B.
11.　根据正弦定理,可得sin Asin B=sin C-sin Bcos A,∵A+B+C=π,
∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
则sin Asin B=sin Acos B,
∵sin A≠0,∴=tan B=,得B=.
12.-　由条件可知,
所以tan(α+β)=.
因为-<α<0,-<β<0,所以-π<α+β<0,
所以α+β=-.
13.解(1)sin x=sinx-=sinx-cos+cosx-sinsinx-+cosx-=sinx-+,
因为x∈,所以x-∈,
所以sinx-=,
所以sin x=.
(2)因为sin x=,x∈,故cos x=-,
sinx+=sin xcos+cos xsin+-×.
14.解假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=,(2)tan·tan β=2-同时成立.
由(1)得+β=,
所以tan+β=.
又tantan β=2-,
所以tan+tan β=3-,
因此tan,tan β可以看成方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,解得x=1或x=2-.
若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾,
所以tan=2-,tan β=1.
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