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2025北师大版数学必修第二册
2.3　三角函数的叠加及其应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]sin 20°cos 130°+cos 20°sin 130°=(　　)
A.- B. C.- D.
2.[探究点一]计算:cossin=(　　)
A. B.2 C.2 D.
3.[探究点二]函数f(x)=sin x-cosx+的值域为(　　)
A.[-2,2] B.[-]
C.[-1,1] D.-
4.[探究点一]若sin α-cos α=,那么cosα+=(　　)
A. B.-
C. D.-
5.[探究点二、三](多选)设函数f(x)=sin 2x+cos 2x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的最大值为
D.y=f(x)的图象关于点,0对称
6.[探究点一]求值:cos-sin=　　　　　.
7.[探究点三]函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移　　　　　个单位长度得到.
8.[探究点二]函数f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos在-上的单调递增区间为　 .
9.[探究点一]已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.
B级关键能力提升练
10.已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)+cos(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f(x)的最小正周期为π,且f(-x)=-f(x),则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=-sin 2x
B.f(x)=sin 2x
C.f(x)=-cos 2x
D.f(x)=cos 2x
11.若sin α+cos α=,则m的取值范围是 (　　)
A.-3,- B.(-3,+∞)
C.-,+∞ D.(-∞,-3)
12.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为　　　　.
13.形如ac　bd的式子叫作行列式,其运算法则为ac　bd=ad-bc,则行列式的值是　　　　.
14.(多选)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,ab≠0,若f(x)≤对任意x∈R成立,则下列命题中正确的是(　　)
A.f=0
B.
C.f(x)是非奇非偶函数
D.可能存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交
15.若方程12x2+πx-12π=0的两个根分别是α,β,则α+β=　　　,cos αcos β-sin αcos β-cos αsin β-sin αsin β=　　　　.
16.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2sin-x·cos-x-1.
(1)求f-2f的值;
(2)当f(x)∈0,,若x是整数,且0≤x≤5,求x的值.
C级学科素养创新练
17.函数f(x)=asin x+bcos x称为向量=(a,b)的“相伴函数”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设函数h(x)=2sin-x-cos+x,求证:h(x)∈S;
(2)记=(0,2)的“相伴函数”为f(x),若函数g(x)=f(x)+2|sin x|-1,x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点,求实数k的取值范围.
2.3　三角函数的叠加及其应用
1.D　原式=sin(20°+130°)=sin 150°=.
2.B　cossin=2cossin=2sincos+cossin=2sin=2sin=2.
3.B　∵f(x)=sin x-cosx+=sin x-cos x+sin x=sin x-cos x=sinx-,∴f(x)的值域为[-].
4.D　因为sin α-cos α=2sin α-cos α=-2coscos α-sinsin α=-2cosα+=,∴cosα+=-,故选D.
5.BCD　f(x)=sin 2x+cos 2x=sin2x+,最小正周期为=π,故选项A不正确;令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),当k=0时,x=,所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,故选项B正确;f(x)的最大值为,故选项C正确;令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),当k=2时,x=,故选项D正确.故选BCD.
6.　原式=cossin
=sincos-cossin
=sin=sin.
7.　因为y=sin x-cos x=2sinx-,
所以函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.
8.-　f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos=sin 2xsin+cos 2xcos=cos2x-.因为x∈-,所以2x-∈-,令2x-∈[-π,0],得x∈-,故f(x)在-上的单调递增区间为-.
9.-　∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1, ①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0, ②
①+②得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,
∴sin(α+β)=-.
10.A　由三角函数的叠加公式可得f(x)=sin2ωx+φ+,因为f(x)的最小正周期为π,所以2|ω|==2,因为ω>0,所以ω=1,则f(x)=sin2x+φ+.
又因为f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,
所以φ+=kπ(k∈Z),即φ=kπ-.
又因为0<φ<π,则令k=1,所以φ=,
所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.
11.C　因为sin α+cos α=2sinα+,
所以sin α+cos α∈[-2,2],
又sin α+cos α=,
所以-2≤≤2,解≤2,
即≤0,即≥0,
得m>-3;
解-2≤,即≥0,即≥0,
得m≥-或m<-3.
综上可得m≥-,即m的取值范围是-,+∞.
故选C.
12.　由题意知
①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37.
则sin(A+B)=.
由题可知A+B+C=π,且0∴C=或C=.
若C=,则A+B=,∴1-3cos A=4sin B>0.
∴cos A<.
又,∴A>,不符合题意.
经检验C=符合题意.
13.-1　sin 15°cos 15°　=sin 15°-cos 15°
=2sin 15°-cos 15°
=2sin(15°-45°)
=2sin(-30°)
=-1.
14.AC　依题意f(x)=sin(2x+θ),其中cos θ=,sin θ=.
由于f(x)≤对任意x∈R成立,
故直线x=是函数f(x)的对称轴,
所以2×+θ=kπ+(k∈Z),所以θ=kπ+(k∈Z),
所以f(x)=sin2x+kπ+
=±sin2x+.
因为f=±sin2×=0,所以A正确;
显然,所以B错误;
根据f(x)的解析式可知f(x)是非奇非偶函数,所以C正确.
要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)没有交点,则此直线和x轴平行,且|b|>,两边平方得b2>a2+b2,即a2<0,这不可能,矛盾,所以不存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交,所以D错误.故选AC.
15.-　由题意知α+β=-.
所以cos αcos β-sin αcos β-cos αsin β-sin αsin β
=cos(α+β)-sin(α+β)
=2cos(α+β)-sin(α+β)
=2sin-(α+β)
=2sin=2sin.
16.解(1)因为f(x)=(sin x+cos x)2+2sin-x·cos-x-1=1+sin 2x+cos 2x-1=sin2x+,
所以f-2f=sin-2sin=2-1=1.
(2)因为f(x)∈0,,
所以02kπ<2x++2kπ或+2kπ<2x+<π+2kπ,
-+kπ因为0≤x≤5,
所以当k=0时,0<当k=1时,2<所以x=3;
当k<0或k>1时,x无解.
综上所述,x∈{1,3}.
17.(1)证明因为h(x)=2sin-x-cos+x=-sin x+cos x,
所以函数h(x)是向量=-的相伴函数,
所以h(x)∈S.
(2)解因为f(x)=2cos x,
所以g(x)=2cos x+2|sin x|-1
=
则g(x)在0,上单调递增,,π上单调递减,π,π上单调递增,π,2π上单调递减,
又g(0)=1,g=3,g(π)=-3,g=3,g(2π)=1;
因为函数g(x)=f(x)+2|sin x|-1,x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点,所以实数k的取值范围为[1,3).
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