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2025北师大版数学必修第二册
2.4　积化和差与和差化积公式
A级必备知识基础练
1.[探究点二]sin 75°-sin 15°的值为(　　)
A. B. C. D.-
2.[探究点一]函数f(x)=2sinsin的最大值是(　　)
A.- B. C. D.-
3.[探究点二]=　　　　　.
4.[探究点三]若cos xcos y+sin xsin y=,sin 2x+sin 2y=,则sin(x+y)=　　　　　.
5.[探究点三]化简下列各式:
(1);
(2).
B级关键能力提升练
6.(多选)在△ABC中,若B=30°,则cos Asin C的取值可以是(　　)
A.-1 B.- C.- D.
7.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且 α∈(0,π),β∈(0,π),则tan=　　　;α-β=　　　　.
8.已知cos2α-cos2β=m,求sin(α+β)sin(α-β)的值.
C级学科素养创新练
9.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,=-,求cos的值.
2.4　积化和差与和差化积公式
1.B　sin 75°-sin 15°=2cossin=2cos 45°sin 30°=2×.
2.C　f(x)=2sinsin=2×-×cos-cos=-cos+cosx-=-+cosx-≤-+1=,即f(x)的最大值为.
3.-　原式==-.
4.　∵cos xcos y+sin xsin y=,∴cos(x-y)=,
∵sin 2x+sin 2y=,∴2sin(x+y)cos(x-y)=.
∴2sin(x+y)×,∴sin(x+y)=.
5.解(1)原式=
==tan.
(2)原式=
=
=
=.
6.CD　cos Asin C=[sin(A+C)-sin(A-C)]=sin(A-C).
∵-1≤sin(A-C)≤1,∴cos Asin C∈-.
7.　由已知得2sincos·-2sinsin,因为0<<π,-,
所以sin>0.所以tan.所以.
所以α-β=.
8.解cos2α-cos2β=(cos α+cos β)(cos α-cos β)
=2coscos-2sinsin
=-2sincos·2sincos
=-[sin(α+β)+sin 0]·[sin(α-β)+sin 0]
=-sin(α+β)sin(α-β)=m.
所以sin(α+β)sin(α-β)=-m.
9.解由题设条件知B=60°,A+C=120°,
所以=-2,
即cos A+cos C=-2cos Acos C,
则2coscos=-[cos(A+C)+cos(A-C)],
将cos=cos 60°=,cos(A+C)=cos 120°=-代入上式,得coscos(A-C),
因为cos(A-C)=cos
=coscos-sinsin
=cos2-sin2=cos2-1-cos2
=2cos2-1,
代入上式并整理得4cos2+2cos-3=0,
即2cos2cos+3=0.
因为2cos+3≠0,所以2cos=0.
所以cos.
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