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2025北师大版数学必修第二册
§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
A级必备知识基础练
1.[探究点一]cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值等于(　　)
A. B. C. D.1+
2.[探究点二]若α∈0,,且sin2α+cos 2α=,则tan α的值等于(　　)
A. B.
C. D.
3.[探究点二]若,则cos-2α的值为(　　)
A. B.-
C.- D.
4.[探究点二]已知tan α=,tan β=,且α,β均为锐角,则α+2β的值为(　　)
A. B. C. D.
5.[探究点三]化简:=　　　　.
6.[探究点二]已知cosα-=,则sinα+=　　　　,sin 2α=　　　　.
B级关键能力提升练
7.若α∈,且cos2α+cos,则tan α=(　　)
A. B.
C. D.或-7
8.(2π<α<3π)的化简结果为　　　　　.
9.已知sin α+3cos α=0,则sin 2α+cos2α=　.
10.求函数f(x)=sin2x+-3cos x的最小值.
11.已知tan α=,cos β=且0<α<<β<2π.
(1)求tan 2α的值;
(2)求α+β的值.
C级学科素养创新练
12.某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°;
cos280°+cos2(-50°)-sin 80°sin(-50°);
cos2170°+cos2(-140°)-sin 170°sin(-140°).
(1)求出这个常数;
(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
1.C　原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+.
2.D　∵sin2α+cos 2α=,∴sin2α+cos2α-sin2α=cos2α=,∴cos α=±.又α∈0,,∴cos α=,sin α=.∴tan α=.
3.A　因为,所以,所以cos α-sin α=,平方得1-2cos αsin α=,所以sin 2α=,所以cos-2α=sin 2α=.
4.C　tan 2β=,tan(α+2β)==1.因为α,β均为锐角,且tan α=<1,tan β=<1,所以α,β∈0,,所以α+2β∈0,,所以α+2β=.
5.-1　原式==-=-=-1.
6.　-　sinα+=sinα-+=cosα-=.sin 2α=sin2α-+=cos 2α-=2cos2α--1=2×2-1=-.
7.C　cos2α+cos=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=或tan α=-7.
又α∈,所以tan α=.故选C.
8.2sin　因为2π<α<3π,所以π<,所以=2sin.
9.-　因为sin α+3cos α=0,所以sin α=-3cos α,所以tan α==-3,所以sin 2α+cos2α==-.
10.解∵f(x)=sin2x+-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1,
令t=cos x,g(t)=-2t2-3t+1,则t∈[-1,1].
又函数g(t)图象的对称轴方程为t=-∈[-1,1],且开口向下,
∴当t=1时,g(t)有最小值-4.
∴f(x)的最小值为-4.
11.解(1)因为tan α=,
所以tan 2α=.
(2)因为cos β=<β<2π,
所以sin β=-=-=-,
所以tan β==-2,
所以tan(α+β)==-1,
因为0<α<<β<2π,所以<α+β<,
所以α+β=.
12.解(1)cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°=2cos215°-sin215°=1+cos 30°-(1-cos 30°)=1+×1-=.故这个常数为.
(2)推广:当α+β=30°时,cos2α+cos2β-sin αsin β=.
证明:cos2α+cos2β-sin αsin β=cos2α+cos2(30°-α)-sin αsin(30°-α)=×-×[cos 30°-cos(2α-30°)]=1+[cos 2α+cos(60°-2α)]+-cos(2α-30°)=1+·2cos 30°cos(2α-30°)+cos(2α-30°)=1+cos(2α-30°)+cos(2α-30°)=.
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