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2025北师大版数学必修第二册
习题课　三角恒等变换的综合应用
A级必备知识基础练
1.[探究点四]函数f(x)=cos2x+sin x(x∈R)的最小值为(　　)
A. B.1 C.-1 D.-2
2.[探究点四]已知函数f(x)=sin-xsin x-cos2x+,x∈0,,则f(x)的值域为(　　)
A.-,1 B.-,1
C.-,-1 D.-,1
3.[探究点四]已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(1,),其中θ∈[0,π],则a·b的取值范围是(　　)
A.[-1,2] B.[-1,1]
C.[-2,2] D.[-,2]
4.[探究点二]化简=　　　　　.
5.[探究点一]已知tan α=2.
(1)求tan的值;
(2)求的值.
6.已知5sin β=sin(2α+β),求证:2tan(α+β)=3tan α.
B级关键能力提升练
7.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x+1,则 (　　)
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
8.已知函数f(x)=mcos2x+2msin x+,其中m>0.若函数f(x)的最大值记为g(m),则g(m)的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若tan Atan B=4(tan A+tan B)tan C,则=　　　　　.
10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0).
(1)若x=,求向量a,c的夹角;
(2)当x∈时,求函数f(x)=2a·b+1的最大值.
C级学科素养创新练
11.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.
习题课　三角恒等变换的综合应用
1.C　由已知f(x)=1-sin2x+sin x,令t=sin x,g(t)=-t2+t+1=-t-2+,则t∈[-1,1],∴t=-1时,g(t)min=-1,即f(x)min=-1.故选C.
2.B　f(x)=sin-xsin x-cos2x+=cos x·sin x-cos2x+sin 2x-cos 2x=sin2x-,因为x∈0,,所以2x-∈-,sin2x-∈-,1,即函数f(x)的值域为-,1,故选B.
3.A　a·b=cos θ+sin θ=2sinθ+,∵θ∈[0,π],∴θ+∈,∴sinθ+∈-,1,∴a·b∈[-1,2].故选A.
4.　原式=tan(90°-2α)·.
5.解(1)tan=-3.
(2)
=
=
==1.
6.证明5sin β=5sin[(α+β)-α]=5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α,
sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α.
因为5sin β=sin(2α+β),所以5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α,所以4sin(α+β)cos α=6cos(α+β)sin α,
所以2tan(α+β)=3tan α.
7.B　由f(x)=2sin xcos x+2cos2x+1=sin 2x+cos 2x+2=2sin2x++2,∴f(x)的最大值为4,T==π.故选B.
8.D　f(x)=mcos2x+2msin x+=-msin2x+2msin x+m+=-m(sin x-1)2+2m+,因为m>0,所以当sin x=1时,f(x)max=g(m)=2m+≥2=4,当且仅当2m=,即m=1时取等号.故选D.
9.9　因为tan Atan B=4(tan A+tan B)tan C,
所以=4××=4××=4×,即,故原式化为sin Asin B=,由正、余弦定理得ab=,即ab·=4c2,
所以a2+b2-c2=8c2,所以=9.
10.解(1)因为a=(cos x,sin x),c=(-1,0),
所以|a|==1,|c|==1.
当x=时,a=,
a·c=×(-1)+×0=-,cos==-.因为0≤≤π,所以=.
(2)f(x)=2a·b+1=2(-cos2x+sin xcos x)+1=2sin xcos x-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin.
因为x∈,
所以2x-,
所以sin,
所以当2x-,
即x=时,f(x)最大值为1.
11.解过点B作BH⊥OA,垂足为H.
设∠OAD=θ0<θ<,则∠BAH=-θ,OA=2cos θ,
BH=sin-θ=cos θ,AH=cos-θ=sin θ,
所以B(2cos θ+sin θ,cos θ),OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos2θ=7+6cos 2θ+2sin 2θ=7+4sin2θ+.
由0<θ<,知<2θ+,
所以当θ=时,OB2取得最大值7+4.
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